判定DFA与正则表达式等价及无穷DFA等问题的算法

本章节讨论了几个关于确定性有限自动机(DFA)、正则表达式、上下文无关文法(CFG)以及无限语言等概念在理论计算机科学中的判定问题。以下是四个关键知识点的详细阐述： 1. **DFA与正则表达式的等价判定**（EQD-R问题）： EQD-R集合定义为那些DFA A和正则表达式 B 相等的对(A,B)，即它们识别相同的语言。解决这个问题的方法是构造一个通用图灵机 (TM)，该 TM首先将正则表达式 B 转换为等价的 DFA C，然后比较 A 和 C 是否等价。由于判定DFA等价性是可判定的，所以这个 TM 可以确定 EQD-R 的有效性。 2. **识别(*)的DFA集合 (ALLDFA)**： ALLDFA 是指识别星号(*)语言的DFA集合。可以使用标记算法来设计一个 TM，通过逐步标记DFA中的状态，确保所有可达状态都可接受。若最终所有接受状态被标记，则DFA属于 ALLDFA，反之则否。 3. **CFG的识别集合 (A(CFG))**： A(CFG) 描述的是识别某个文法 G 的CFG集合。判定方法是构造一个 Chomsky 文法 P 与 G 等价，如果起始变元 S0 在规则集中出现，则接受 G，否则拒绝。 4. **无限语言识别的DFA (INFTYDFA)**： INFTYDFA 集合包括那些识别无限语言的 DFA。判定时，只需检查DFA的状态图是否存在循环，因为无限语言的识别依赖于状态的无限循环。图灵机 M 会逐步标记和处理DFA状态，如果所有状态都被标记且无接受状态，那么该DFA识别无限语言。 5. **不接受奇数个1字符串的DFA集合 (A={<M>|M是DFA})**： A 定义了一个特殊的DFA集合，这些DFA不接受任何包含奇数个1的字符串。为此，可以构造一个辅助DFA N，其识别奇数个1的字符串。然后，通过设计图灵机 F，对输入的 DFA M 进行判断，如果 M 接受任何奇数个1的字符串，则拒绝，否则接受。 这些证明展示了如何通过构造适当的图灵机或者算法来判断这些特定的集合或条件是否满足，这些都是理论计算机科学中的基础问题，对于理解自动机理论和形式语言非常重要。