抛物柱面函数的关联Hermite多项式理论研究

"这篇论文深入探讨了与抛物柱面函数相关的关联Hermite多项式，作者Alfred Wünsche是来自柏林洪堡大学物理研究所的Max-Planck小组成员。文章发表在2019年《纯粹数学进展》(Advances in Pure Mathematics)期刊的第9卷中，详细阐述了这些多项式的理论发展，特别是它们与Lommel多项式在Bessel函数中的作用相类似的关系。此外，论文还对比了贝塞尔函数的平面运动3参数组M(2)与抛物柱面函数的海森堡-魏尔群W(2)的组理论背景。" 本文的核心内容涉及多个数学和物理概念，首先，Lommel多项式是与Bessel函数J_v(z)相关的一类特殊函数，它们在解决特定类型的微分方程时起到重要作用。同样，作者提出了一种新的理论框架，用于研究与抛物柱面函数D_v(z)比例关系的关联Hermite多项式H_en(z)。抛物柱面函数在量子力学和特殊函数理论中有着广泛的应用，尤其是在处理无穷维希尔伯特空间中的问题。 海森堡-魏尔群W(2)是一个重要的数学结构，它在量子力学中扮演着基础角色，特别是在描述粒子的位置和动量运算符的关系时。文章中，作者将这个群论的概念应用到抛物柱面函数的分析中，与Bessel函数中的平面运动3参数组M(2)进行了比较，探讨了它们的降低和提升算子，这些算子在构造函数的序列和解线性微分方程时非常关键。 文章进一步详细推导了关联Hermite多项式及其导数的递归关系，这些关系对于理解和计算这些函数的性质至关重要。递归关系是数学分析中一种强大的工具，可以用来生成一系列多项式并确定其性质。此外，还给出了当参数为零时，关联Hermite多项式与关联Jacobi多项式之间的显式表达式，这有助于通过两个基本函数来表示抛物柱面函数。 这篇论文不仅扩展了我们对特殊函数的理解，特别是在与抛物柱面函数相关的Hermite多项式理论方面，而且还深化了对海森堡-魏尔群在解析物理问题中的应用的认识。通过比较不同的数学工具和理论，它为研究这些函数提供了新的视角和方法。