数值分析大作业：QR分解法求解特征值

"这篇资源是关于数值分析课程的一个大作业，主要涉及QR分解法在求解矩阵特征值和特征向量中的应用。程序使用C++编程语言实现，具体包括带双步位移的QR分解算法。" 在数值分析中，QR分解是一种常见的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。在这个大作业中，任务是使用QR分解法来找出给定矩阵A的所有特征值和对应的特征向量。矩阵A的元素由题目给出，具有特定的数学形式。 首先，程序会根据题目描述构建矩阵A。接着，矩阵A会经过拟上三角化过程，这涉及到一系列的Householder反射（Householder reflections），目的是将矩阵转换成上三角形式。在每一步中，如果当前列的所有下标大于r的元素都为零，那么就直接进入下一步；否则，通过Householder反射构造一个向量ur，以及相关的投影矩阵P和Q，更新矩阵A使其接近上三角形态。 拟上三角化完成后，矩阵A会被进一步处理，采用带双步位移的QR分解来求解特征值。这个过程包括以下步骤：(1) 初始化A1为A的最后两行两列子矩阵；(2) 计算矩阵Mk，它涉及到A_k的平方、迹和行列式；(3) 对Mk进行QR分解；(4) 更新A_k+1。通过这样的迭代，最终得到的矩阵B是一个分块上三角矩阵，其对角块包含了矩阵A的特征值。 在获取所有特征值之后，程序会处理特征向量的计算。对于每个特征值，可能需要解决一个线性方程组(A - λI)x = 0，其中λ是特征值。由于某些特征值可能有重数，为了消除系数矩阵的奇异性，程序会设置对应特征向量的某些元素为常数（这里设定为1）。最后，使用主元选取的高斯消去法（Gaussian elimination with partial pivoting）求解这些线性方程组，获得特征向量。 提供的源代码片段是程序的主函数部分，它包含了一些基本的输入输出设置和函数调用，但完整的程序还包括了其他未展示的自定义函数，例如用于实现上述算法的数学运算和矩阵操作。 总结来说，这个数值分析大作业的目的是让学生理解和应用QR分解法，通过编程实现求解矩阵的特征值和特征向量，这对于理解和掌握数值线性代数中的核心概念至关重要。