K-L变换：主成分分析与决策风险解释

K-L变换小结主要围绕模式识别领域的数据分析方法展开，它是一种广泛应用在统计学和机器学习中的技术。该变换的目的是通过找到数据在高维空间中的最佳线性变换，使得数据的方差最大化，从而达到降维并突出数据间差异的目的。K-L变换与主成分分析（PCA）类似，它确保了变换后的特征能够最好地解释原始数据的变异，即保留了数据的最重要信息。 在模式识别中，我们通常假设类条件概率密度可以近似为多维正态分布，这有助于构建有效的分类器。为了设计一个稳健的分类器，我们追求最小化最坏情况下的总体风险，即对于所有可能的先验概率，期望决策行动带来的最大风险是最小的。这涉及计算条件风险，即针对特定样本x的决策结果的风险，以及期望风险，即在所有可能样本上的平均风险。 特征空间中的决策是随机的，它依赖于输入向量x，通过决策函数a(x)映射到不同的决策区域。每个决策区域对应一个特定的类别，如分类的输出a1, a2, ... aM。例如，在系统聚类中，初始时所有样本视为一类，然后根据相似性逐步划分为更小的类别，直至达到满意的分类效果。 在实际应用中，如ORL数据库中的样本，其物理和结构特征可能直观易懂但难以量化，而数学特征则更适合机器处理，比如统计特征。分类时，概率密度函数的分离程度至关重要。理想情况下，类条件概率密度函数应完全分开，如图5.1(a)所示，这样可以确保分类的准确性。然而，现实中可能遇到的是函数完全重叠的情况，如图5.1(b)，这时就需要通过更复杂的模型和方法来区分不同类别的样本。 K-L变换在此背景下提供了一种有效的工具，它能够处理这种复杂性，通过线性变换揭示数据的本质结构，帮助我们在分类任务中做出更准确的决策。理解并掌握这一变换，对于优化模式识别系统的性能和提高数据处理效率具有重要意义。