天津大学算法设计历年试题：复杂性分析与多项式约化

本资源是一份天津大学智能与计算学部算法设计课程的历年期末试卷，对于备考或复习该课程的学生来说非常宝贵。试卷包含以下几个部分的知识点： 1. **算法复杂性分析**: - 算法复杂性分析是衡量算法效率的重要方法，主要包括解析法和实验测量法两种。时间复杂度和空间复杂度是常见的分析角度，它们用于评估算法在处理数据规模增大时所需时间和内存资源的增长情况。 - 在题目中，举例说明了如何用渐进符号表示两个递归算法的复杂度：算法A的时间复杂度f(n)为O(2^n)，表示随着n的增加，增长速度接近于2的幂次；而算法B的时间复杂度g(n)为O(n)，表明其增长速度与n线性相关。 2. **多项式约化与NPC问题**: - 多项式约化是指一个问题可以被转换为另一个问题，而这个转换可以在多项式时间内完成。如果问题P可以通过多项式约化到NPC问题（非确定性多项式完全问题），则表明问题P的困难程度与NPC问题相当。 - 要证明一个问题是NPC问题，通常需要找到一个已知NPC问题P，并通过构造多项式约化算法，证明P的问题实例可以通过多项式时间转换为所考虑问题的实例。 3. **算法复杂性分析示例**: - 题目给出了一段伪代码，涉及两个二维数组的更新和一个动态规划计算过程。通过分析，发现特定计算操作的时间复杂度分别为：`mini<l(j{c(i,l-1)+c(l,j)}}` 的执行时间为O(n^2)，内层for-循环的执行时间为O(m)，从而推导出整个算法的总执行时间t(n)可能为O(n^3)或类似形式，具体取决于m和n的关系。 4. **分治法与逆序计数**: - 采用分治策略设计了一个计算给定排列逆序总数的算法。首先将原排列划分成两部分，递归求解每部分的逆序数，然后合并两个有序子排列来计算它们之间的逆序数，最后加上子排列内部的逆序数。时间复杂度分析需要考虑分割、递归调用以及合并操作的时间消耗。 这份试卷涵盖了算法复杂性分析、递归算法分析、多项式约化概念、以及分治法在实际问题中的应用，对于理解和掌握算法设计与分析方法具有较高的学习价值。