随机梯度下降法：广义线性模型与优化

随机梯度下降法是优化算法中的一种经典方法，尤其在大规模数据集上应用广泛。它与批量梯度下降法的主要区别在于更新策略。批量梯度下降法会在每个迭代周期内计算所有样本的梯度平均，而随机梯度下降法则每次只选取一个样本进行更新，这样大大降低了计算复杂度。其迭代公式为： ，其中 是学习率， 是模型参数， 是第i个样本的误差函数，而 是样本集合。 随机梯度下降法虽然每次迭代只考虑单个样本，但这并不意味着它不能找到全局最优解。尽管局部误差可能会有所波动，但整体趋势是朝着全局最优方向进行的，因此在实践中，随机梯度下降法经常能够收敛到一个接近全局最优的解。 针对线性回归问题，分析误差准则函数的性质有助于理解这种优化方法。对于二阶偏导数的分析表明，如果模型满足一定的条件（如Hessian矩阵正定），则误差函数是单峰函数，这意味着通过梯度下降法求得的解将是全局最小值。然而，如果模型复杂度较高，存在多个局部极小值，随机梯度下降可能陷入局部最优而非全局最优。 广义线性模型（GLM）是一种更一般化的框架，它涵盖了线性最小二乘回归和逻辑回归等多种模型。GLM基于指数分布族，通过设定三个假设来构建模型：（1）样本的条件概率遵循指数分布；（2）预测值的期望与特征之间的关系是线性的；（3）模型参数与预测值的期望之间存在特定的关系。例如，高斯分布对应的线性最小二乘回归，伯努利分布对应的逻辑回归，它们都是指数分布族的具体实例。 高斯分布的特点是其方差与假设函数独立，这使得线性模型中的方差成为了一个固定的常数。而伯努利分布，即0-1分布，与逻辑回归紧密相关，sigmoid函数即来自于此，它作为正则响应函数或正则关联函数，将连续的概率映射到[0,1]区间。 泊松分布则是一种离散概率分布，常用于计数问题，如电话呼叫、网站点击等。泊松分布的均值等于方差，代表单位时间内事件发生的平均次数。理解这些概率分布和它们在GLM中的应用，对于选择和设计合适的模型至关重要。 总结来说，随机梯度下降法是解决大型数据集优化问题的有效工具，而广义线性模型提供了通用的框架来构建各种概率模型，包括线性回归和逻辑回归等。理解这些概念及其背后的数学原理，有助于我们在实际项目中更好地运用这些技术。