2021 MINIEYE杯大学生算法赛题解：树链剖分与离线查询优化

在2021年的“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛（3）中，我们关注了两道题目：Bookshop 和 Destinations。以下是详细解析： 1. **Bookshop** 题目 - 问题背景：解决在树状结构的书店中，如何高效处理从任意两点x和y之间的最短路径查询，同时考虑对某个值px的操作，即每个节点的z值可能需要减去px。 - 算法策略：采用轻重链剖分（Preorder Traversal）的方法，利用深度优先搜索（DFS）的特性，保证重链在DFS序列中是连续的。通过离线处理，将问题分为两个步骤：一是从右往左扫描DFS序，处理向上的区间；二是从左往右扫描，处理向下的区间。 - 数据结构：使用平衡树（如AVL或红黑树）T来存储询问，支持插入、删除和更新操作。对于z值的操作，根据其范围进行优化：小于k的值不变，k到2k的值减去k并更新一次，大于2k的值只需标记不需实际修改。 - 时间复杂度分析：总操作次数为O(n + qlogn + qlogz)，其中n为树的节点数，q为询问数量，每次操作的时间复杂度为O(logq)。因此，总时间复杂度为O((n+qlogn+qlogz)logq)。 2. **Destinations** 题目 - 问题描述：给定每个人有三条从起点到终点的路线，这些路线在起点上有公共点，要求找出一条从起点到终点的最短路线。 - 解决思路：首先，观察到路线之间有公共起点，这提示我们可以利用共享信息来简化问题。可能需要考虑动态规划或者贪心策略，比如优先选择代价最低的路线，然后检查是否有更优的公共部分可以共享。 - 时间复杂度：取决于具体算法实现，如果能有效地利用公共起点和路线间的联系，复杂度可能较低，例如O(n)或O(m log n)，其中n为人数，m为路线数量。 总结起来，这两道题目均涉及高效的树或图数据结构操作，以及对离线处理和数据结构设计的巧妙应用。理解并掌握预处理、深度优先搜索、平衡树等数据结构在解决此类问题中的作用至关重要。同时，针对不同的问题特点，灵活运用算法策略是解答这类竞赛题目的关键。