2021 MINIEYE杯大学生算法赛题解:树链剖分与离线查询优化
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更新于2024-08-05
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在2021年的“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛(3)中,我们关注了两道题目:Bookshop 和 Destinations。以下是详细解析:
1. **Bookshop** 题目
- 问题背景:解决在树状结构的书店中,如何高效处理从任意两点x和y之间的最短路径查询,同时考虑对某个值px的操作,即每个节点的z值可能需要减去px。
- 算法策略:采用轻重链剖分(Preorder Traversal)的方法,利用深度优先搜索(DFS)的特性,保证重链在DFS序列中是连续的。通过离线处理,将问题分为两个步骤:一是从右往左扫描DFS序,处理向上的区间;二是从左往右扫描,处理向下的区间。
- 数据结构:使用平衡树(如AVL或红黑树)T来存储询问,支持插入、删除和更新操作。对于z值的操作,根据其范围进行优化:小于k的值不变,k到2k的值减去k并更新一次,大于2k的值只需标记不需实际修改。
- 时间复杂度分析:总操作次数为O(n + qlogn + qlogz),其中n为树的节点数,q为询问数量,每次操作的时间复杂度为O(logq)。因此,总时间复杂度为O((n+qlogn+qlogz)logq)。
2. **Destinations** 题目
- 问题描述:给定每个人有三条从起点到终点的路线,这些路线在起点上有公共点,要求找出一条从起点到终点的最短路线。
- 解决思路:首先,观察到路线之间有公共起点,这提示我们可以利用共享信息来简化问题。可能需要考虑动态规划或者贪心策略,比如优先选择代价最低的路线,然后检查是否有更优的公共部分可以共享。
- 时间复杂度:取决于具体算法实现,如果能有效地利用公共起点和路线间的联系,复杂度可能较低,例如O(n)或O(m log n),其中n为人数,m为路线数量。
总结起来,这两道题目均涉及高效的树或图数据结构操作,以及对离线处理和数据结构设计的巧妙应用。理解并掌握预处理、深度优先搜索、平衡树等数据结构在解决此类问题中的作用至关重要。同时,针对不同的问题特点,灵活运用算法策略是解答这类竞赛题目的关键。
2022-08-03 上传
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2021-07-29 上传
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