线性回归模型解析与应用

"本次讲解的主题是线性回归模型，这是监督学习中的一个重要概念。线性回归模型被用来研究两个或多个变量之间的关系，特别是在父母平均身高与成年子女平均身高的例子中，每增加一个单位的父母平均身高，子女平均身高只增加0.516个单位，这就是所谓的‘回归’效应。尽管‘回归’这个词在这里并不完全表示统计意义上的衰退，但线性回归这一术语因此沿用下来。 线性回归分析是回归分析的一种，它构建的模型用于描述不同变量间的关系。如果模型呈线性关系，即因变量与自变量之间存在直线关系，那么我们称其为线性回归模型。这样的模型有广泛的应用，例如根据碳排放量预测气候变化，或者通过广告投入预测销售额。 在实际应用中，我们需要从已有的标注数据中学习得到线性回归模型的参数。比如，给定1984年的二氧化碳浓度，目标是预测2010年的浓度。这需要找到最佳的回归模型，即最小化预测误差的过程。 线性回归模型的性能通常通过代价（损失）函数来衡量，它计算的是模型预测值与实际值之间的差距。常见的损失函数有均方误差（MSE），它的目标是最小化经验风险，即所有样本误差的平均值。 在Python的Scikit-learn库中，线性回归模型可以通过`LinearRegression`类实现。该模型的参数包括系数（斜率/权重）`coef_`和截距`intercept_`。然而，线性回归模型在处理大量特征时计算效率较低，而且模型没有超参数来控制复杂度。 优化线性回归模型参数的方法之一是梯度下降，它是一种迭代优化算法，通过沿着梯度的反方向更新参数来最小化成本函数。梯度是函数在某一点的导数向量，指示了函数值下降最快的方向。梯度下降有两个主要缺陷：一是可能会陷入局部最优解，可通过多轮随机初始化来缓解；二是对属性尺度敏感，可通过特征缩放来解决。此外，还有随机梯度下降和批量梯度下降等变种，它们在计算速度和收敛性上各有优劣。"