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P. Hofstra
等人
/
理论计算机科学电子笔记
341
(
2018
)
201
C类有时我们重载符号,也写
Z
作为其基础
集值预层。
当T是一个理论时,则T的一个
分类拓扑
是一个拓扑B(T),它存在一个自然的
双射对应
(2)
Geom(E
,
B(T))Mod(T
,
E)
从E到B(T)的几何态射范畴与 的T
-
模型。 这里,E是一个任意的共完全拓扑。
众所周知 (see例如[8]),每一个几何理论承认一个分类拓扑(然后自动唯一的等
价),每Grothendieck拓扑是一些几何理论的分类拓扑(然后自动唯一的森田等
价)。
现在让T是一个代数理论,也就是说,一个理论,其基础语言由一个单一的排序
X,可数许多变量的这种排序,和函数符号的潜在的所有有限的。T的(非逻辑的)
公理是这种语言的项之间的方程。现在让fpT-Mod是T的所有有限表示的基于集合的
模型和它们之间的同态的范畴,其中T的基于集合的模型是有限表示的,如果它同
构于T的关于有限多个生成元模这些生成元上的有限多个关系的自由模型。T的分类
拓扑B(T)是从fPT-Mod到Set的所有协变函子的范畴Set
fPT-Mod
。换句话说,对于任
何共同完成的
topos
E,都存在范畴
fpT- Mod
(3)
Geom(E
,
Set ) Mod(T
,
E)
几何态射范畴E →Set
fPT-Mod
与E中的T
-
模型范畴之间的关系。而且,这种等价性在E
.
因此,集合
fpT-Mod
包含一个
泛
T
-
模型
UT
,它只是包含函子fpT-Mod→T-Mod的(底层
预 层 ) 。 在 等 价 式 ( 3 ) 下 , 一 个 几 何 态 射 φ : E →Set
fPT-Mod
对 应 于 T- 模 型
φ
<
$
UT
.(See[8]
详细信息。
我们可以考虑这个普遍模型的自同构群,这意味着
指数
U
T
U
T
的
子群
在
那些自
同构
,其中保留
V
的
T
-
结构先验地,这是拓扑集合
fpT-Mod
的一个定义明确的对象并不清楚,但事实上我们有
以下结果(它实际上对任何几何理论T都成立,不一定是代数的):
定理2.2 B ( T ) 的
迷向群同构于泛
T -
模型的自同构群
.
我们注意到这个结果是由
S. Awodey
,并已被称为是真实的一段时间。由于文献
中还没有证据,我们在这里包括一个草图。
证据通过通常的论证,证明了B(T)中的映射X→Z与映射X→Aut(
UT
)之间存在自
然的双射,其中X是B(T)的任意对象.因此,设α:X→Z是一个各向同性元,考虑
它所对应的投影函子B(T)
/X
→ B(T)在双射(
1
)下的自然自同构。由于投影的
逆像函子X