使用生成函数解掷骰子问题：概率与位运算的卷积实践

"这篇文档是IOI2018中国国家候选队的论文集，其中涉及到了多种算法和数学问题的探讨，包括位运算规则下的卷积、生成函数在掷骰子问题上的应用等。文章重点讲述了如何使用生成函数解决概率和期望问题，尤其是在算法竞赛中的应用。" 在算法领域，位运算规则下的卷积是一种高效处理数组或序列的技术，它在计算机科学和数学中有广泛的应用。卷积通常用于图像处理、信号处理以及计算数学中，例如在滤波器设计或傅立叶变换中。位运算规则下的卷积可能涉及到二进制位的按位与、或、异或等操作，这些操作可以用来快速计算两个整数序列的某种组合。在这个例子中，23和69可能代表了某个特定的位运算问题，但具体细节未在描述中给出。 另一方面，生成函数是一种强大的数学工具，特别是在解决组合问题和概率问题时。在掷骰子问题中，生成函数可以用来表示所有可能的结果，并通过求解这个函数来找出期望值、概率分布等信息。文章作者杨懋龙探讨了如何利用生成函数来解决这类问题，强调了这种方法相对于传统方法的优势，如易于理解和计算，以及更好的扩展性。 生成函数分为普通生成函数和概率生成函数。普通生成函数是数列的多项式表示，其中每个系数对应数列中的元素。而概率生成函数则是当数列的元素对应一个离散随机变量的概率时，生成函数可以反映该随机变量的分布。 在算法竞赛中，生成函数可以简化复杂的计算，特别是在处理涉及概率和期望的问题时。文章的结构包括符号约定、预备知识、概率生成函数的定义和性质，以及逐步应用的实例，展示了如何将生成函数应用于掷骰子问题的具体步骤。通过学习和理解这些概念，参赛者可以提高解决此类问题的能力，提升算法竞赛的表现。 其他论文涵盖了不同的主题，如后缀树的节点计数、保序回归问题、区间问题的优化、树上连通块问题、加权平衡树、小H爱染色问题、特殊的数论函数求和问题、离散傅立叶变换（DFT）的应用、完美的队列问题、拟阵的拓展应用、Splay与Treap的数据结构性质、最小方差生成树问题，以及欧拉图的生成与计数问题。这些论文全面展示了信息学竞赛中可能遇到的各种难题及其解决方案，为参赛者提供了深入学习和研究的资源。