有限元法与三角形单元位移函数分析

"该资源是一份关于有限单元法的教程，特别关注了三角形板单元的位移函数以及如何处理边界条件。通过一个具体的习题，解释了在有限元法中如何利用配点法、子域法和伽辽金法求解问题。" 在有限单元法中，三角形板单元的位移函数是解决问题的基础。给定的位移函数表达式为 `(yxyxyxyxyx)^T \cdot (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_9)`，其中 `α` 是一组待定系数，`y` 和 `x` 分别代表二维空间中的坐标。这个表达式用于描述单元内任意点的位移状态。当三角形单元的两条边平行于坐标轴且长度相等时，可以通过代数方程组来确定这些 `α` 参数的具体值。然而，由于几何对称性，这种特定情况下方程组的系数矩阵会变得奇异，这意味着存在无限多的解或无解，需要进一步的边界条件来唯一确定解。 在解决有限元法问题时，边界条件起着至关重要的作用。正如习题1.2所示，近似函数 `φ = a_1x^2 + a_2x^3 + a_3x + a_4x^2 + a_5y^2 + a_6xy + a_7y^3` 需要满足给定的边界条件。例如，在情况（1）中，通过代入边界条件，可以建立关于待定系数 `a` 的线性方程组，从而找到满足这些条件的解。 配点法是一种简单直观的方法，它通过要求残量 `R(x)` 在有限个特定点上等于零来求解问题。在本例中，选取 `x=L/3` 和 `x=2L/3` 处，使得残量为零，从而可以解出待定系数 `a_1` 和 `a_2`。这种方法虽然易于实现，但可能忽视了在整个域内的连续性和光滑性。 子域法则要求在多个子域内对残量的积分等于零，这样每个子域都可以独立求解，然后组合所有子域的解得到整体解。这种方法可以更好地处理区域内部的局部变化，通过调整子域的大小和位置，可以优化求解过程。 伽辽金法是加权余量法的一个特例，它使用插值函数作为权函数。在这个例子中，权函数选择为插值基函数 `N_1(x)` 和 `N_2(x)`，它们与位移函数相同。通过对残量与权函数的加权积分等于零，可以求出待定系数 `a_1` 和 `a_2`。 以上三种方法在有限元分析中都有其适用场景，它们在处理不同复杂程度的问题时展现出各自的优点。理解并掌握这些方法对于进行有效的有限元计算至关重要。在实际应用中，工程师会选择最适合问题特征的方法来求解。