区间平分法求极值及其应用

资源摘要信息:"本资源主要介绍了在数学及优化问题中寻找函数极值的一种常用方法——平分法（也称为区间搜索法），特别是在单峰函数（单峰函数指的是函数图像只有一个极大值或极小值的函数）中寻找极值点的应用。核心过程包括如何确定搜索区间，如何计算中点，以及如何通过目标函数在中点的导数来判断并舍去不必要的区间，最终精确地定位到极值点。 关键知识点包括： 1. 区间求中点：在数值方法中，对于给定的搜索区间[a, b]，计算其中点的坐标是基本操作。中点的计算公式为 (a + b) / 2。在极值搜索算法中，中点的选择对于确定下一步搜索方向至关重要。 2. 导数概念：导数是微积分中的一个核心概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。在优化问题中，函数的导数被用来判断函数在该点是增加还是减少，以及变化的快慢。如果函数在某一点的导数为零，那么这一点可能是极值点（极大值或极小值）。 3. 极值的定义：在数学中，函数的极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。如果函数在某点的邻域内始终不大于（或不小于）该点的函数值，则称该点为局部极大值（或局部极小值）。如果这种性质对整个定义域都成立，则称为全局极大值（或全局极小值）。 4. 搜索极值：在实际问题中，通常需要通过算法搜索函数的极值点，尤其是在无法直接求出解析解的情况下。搜索算法的基本策略是从一个初始区间开始，根据函数值和导数的性质逐步缩小搜索范围，直至找到满足精度要求的极值点。 5. 平分法求极值：该方法特别适用于单峰函数，其基本思想是将初始区间一分为二，计算中点的函数值和导数，根据这些信息决定哪个区间子段包含极值点，然后舍弃不包含极值的区间段，重复上述过程直到区间足够小为止，此时区间中点的函数值可视为极值点的近似值。 6. 导数的计算与极值的判断：在平分法中，计算中点的导数是为了确定函数在该点的增减性质。如果导数大于零，则函数在该点上升，表明极小值点在中点左侧区间内；如果导数小于零，则函数在该点下降，表明极小值点在中点右侧区间内。通过这种方式，可以逐步缩小搜索区间。 文件whm.m很可能是实现了上述平分法求极值算法的MATLAB脚本文件。MATLAB是一种广泛用于数值计算、数据分析和可视化的编程语言和软件环境。该文件中的脚本可能包含了初始化搜索区间、迭代计算中点和导数、根据导数判断舍去区间以及最终输出极值点等步骤。" 在学习和应用上述知识点时，可以通过MATLAB等数学软件实际操作来加深理解。例如，运行文件whm.m，观察搜索过程中区间如何变化，导数如何用于指导搜索方向，最终如何定位极值点。通过实际编码和运行，可以直观地理解算法的工作原理及其在解决实际问题中的应用。