二阶泛函微分-Laplace方程的Neumann边值问题解的存在性

这篇论文主要探讨了二阶泛函微分-Laplace方程在Neumann边值条件下的解的存在性。研究对象是一个二阶微分方程，其形式为 -d/dt(u'(t)) = f(t, u(t), u(τ(t)))，其中f(t, u, v)是定义在区间I=[0, T] × R^2上的连续函数，τ(t)是I上的连续函数。问题的关键在于考虑Neumann边界条件，即在边界上，函数的导数等于某个特定值。 作者采用了上下解方法和单调迭代法来证明解的存在性。上下解的概念在这里起到关键作用，它们是用于构建解的两个边界值，一个称为下解，另一个是上解。在这种情况下，如果下解和上解满足一定的反序条件，即在区间[β, α]上，下解小于上解，那么可以利用反极大值原理来证明解的存在性。反极大值原理是一个基础的比较原理，它保证了解不会超过上解并且不低于下解，从而可以借助单调迭代法来构造解。 论文还提到了80年代G.S. Ladde、V. Lakshmikantham、A. S. Vatsala等人的工作，他们通过上下解方法和单调迭代法研究了一阶和二阶常微分方程的周期边值问题。后来，V. Lakshmikantham进一步将这些方法推广到泛函微分方程的边值问题。然而，针对带有Neumann边界条件的泛函微分方程的研究相对较少。本文的贡献在于填补了这一空白，特别是在上下解反序条件下的解的存在性证明。 在技术层面，论文假设了一些关键条件，如(B1)表示R到R的映射是单调递增且以0为固定点；(B2)保证了函数(B)在一定区间内的严格凹性，这有利于比较解的性质；(B3)则是关于τ(t)的连续性的假设。这些条件确保了迭代过程的收敛性，并且能够应用单调迭代法来寻找解。 这篇论文是泛函微分方程领域的深入研究，对于理解二阶泛函微分-Laplace方程在Neumann边值问题中的行为具有重要意义，同时也为相关问题的求解提供了新的数学工具和方法。