最优控制理论：离散变分法与Euler方程

"该资源是吴受章关于最优控制理论的讲授提纲，主要讨论离散变分法与Euler方程在最优控制问题中的应用。内容包括泛函极值存在的必要条件、Euler方程和横截条件等，配合教材《最优控制理论与应用》。" 本文档是吴受章教授关于最优控制理论的一份教学大纲，旨在探讨离散变分法如何与Euler方程相结合来解决最优控制问题。离散变分法是处理连续系统的一种数值方法，尤其在工程和数学领域中有着广泛的应用。在最优控制问题中，寻找使某个性能指标达到最小或最大的控制策略是一个关键任务。 首先，大纲提到泛函极值存在的必要条件，这是建立最优控制理论的基础。在数学上，如果一个函数在某一点达到极值，那么它在该点的微分必须为零。这对应于Euler方程，即对目标泛函求变分后得到的微分方程，它描述了控制变量与系统状态之间的关系。Euler方程通常用于找出可能的最优解，但并非所有满足Euler方程的解都是真正的最优解，还需要附加横截条件来进一步筛选。 Euler方程是变分法的核心，它从数学角度描述了如何通过调整控制输入使得性能指标达到最优。横截条件则确保了这些解在物理上是合理的，例如满足系统的边界条件或初始条件。 大纲还提到了教学方法，强调教师应根据自己的风格和习惯进行教学，可以利用幻灯片或板书辅助讲解。教材和讲授提纲作为参考，教师可以灵活补充内容，并根据课程进度调整教学安排。 文档回顾了控制理论的历史发展，从经典的反馈控制到最优控制的转变。经典反馈控制主要应用于单输入单输出（SISO）系统，依赖低阶传递函数，手算和经验设计，而最优控制则涉及到多输入多输出（MIMO）系统，使用状态方程，计算机优化算法，考虑能耗，并由数字器件实现，主要应用于航空航天等领域。 第一章介绍了变分法，这是理解最优控制理论的基础。变分法涉及寻找函数的极值，包括局部极值和全局极值。定义了泛函、函数空间的距离、邻域和极值概念，并展示了如何通过推导Euler方程来求解变分问题。 这份教学大纲提供了一个深入学习最优控制理论的框架，涵盖了基本概念、历史背景和关键计算工具，对于理解和应用离散变分法解决实际控制问题具有指导意义。