机器学习入门：梯度下降与线性回归解析

"这篇资料是关于斯坦福大学2014年的机器学习课程，由吴恩达教授主讲，涵盖了广泛的机器学习主题，包括监督学习、无监督学习和最佳实践等，并通过实例研究来教授如何应用这些算法。课程强调理论与实践的结合，适合初学者和有经验的研究者。" 在机器学习中，梯度下降法是一种广泛使用的优化算法，尤其在训练模型时用于最小化损失函数或成本函数。在线性回归中，我们的目标是找到最佳的直线（或超平面）来拟合数据，这个最佳直线的参数（通常是权重w和截距b）可以通过梯度下降来迭代更新。 梯度下降的工作原理是沿着损失函数梯度的反方向移动，因为梯度指明了损失函数增加最快的方向，所以反向就是损失减少最快的方向。在求解线性回归问题时，我们定义代价函数（成本函数）为预测值与真实值之间的平方误差的平均值，通常表示为J(θ)。这里的θ代表模型参数，对于简单线性回归，θ包括权重w和截距b。 对于只有一个特征的情况，线性回归的代价函数可以写作： \[ J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \] 其中，\( h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x \) 是线性模型，\( m \) 是训练样本的数量，\( x^{(i)} \) 和 \( y^{(i)} \) 分别是第i个样本的特征和对应的标签。 梯度下降算法的关键在于计算代价函数关于每个参数的偏导数，即梯度。对于线性回归，当j=0（对应截距项θ0）时，导数为： \[ \frac{\partial J}{\partial \theta_0} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \] 而当j=1（对应权重项θ1）时，导数为： \[ \frac{\partial J}{\partial \theta_1} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}((h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x^{(i)}) \] 然后，我们将这些导数（或梯度）乘以学习率α，以确定每次迭代时参数更新的步长。更新规则如下： \[ \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{\partial J}{\partial \theta_j}, \quad j = 0, 1 \] 这个过程将持续进行，直到损失函数达到足够小的阈值，或者达到预设的最大迭代次数。梯度下降法不仅可以应用于线性回归，也是许多其他机器学习模型（如逻辑回归、神经网络等）优化参数的常用方法。 在这个课程中，吴恩达教授详细讲解了梯度下降法以及如何将其应用到线性回归中，同时提供了实际案例和项目，以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。课程还包括了无监督学习、聚类、降维、推荐系统和深度学习等多个主题，为学员提供了全面的机器学习知识体系。