无量纲坐标下有限单元法的位移模式与刚度分析

有限单元法是一种广泛应用于结构分析领域的数值方法，它通过将复杂的结构分解为许多简单的、相互独立的单元来进行计算。在无量纲坐标系下，这种方法的表达更为简洁，有助于理解其基本原理。 在有限单元法的分析过程中，首先是对结构的离散化。这涉及将待分析的结构划分为有限数量的单元，每个单元的大小和数量需根据所需的精确度和计算机资源进行决定。例如，杆系结构可以被分割成多个节点，如图1.1中的六个单元，而复杂形状如薄板则可转化为三角形单元，如图1.2所示。划分完成后，会记录单元编号和准备必要的数据信息，同时建立适合的坐标系。 接下来是确定单元的位移模式，这是关键步骤，因为位移函数的质量直接影响到分析的准确性和效率。位移模式通常通过单元结点位移的函数形式来表示，它描述了单元内部任意点的运动状态。合理的位移函数假设能够提供可靠的结果。 然后进行单元特性分析，包括几何方程（应变与位移的关系）、物理方程（Hooke定律下的应力与应变关系）以及利用虚位移原理或最小势能原理来构建单元的刚度方程。这些方程中，涉及到单元内的应变矩阵、变形矩阵、应力矩阵、单元结点力矩阵、等效荷载矩阵和刚度矩阵。 在完成单元分析后，整体结构的平衡方程组得以建立。这个方程组由整体刚度矩阵、整体结点位移矩阵、实际和等效结点荷载组成，它们共同反映了结构在所有单元间的相互作用和平衡状态。 程序设计与软件部分是实际应用的重要环节。有限元分析软件分为通用软件和专用软件两种类型。通用软件适用于多种结构类型，具有良好的通用性和标准化，但可能功能相对固定；专用软件则针对特定问题设计，通常提供更高的定制化和优化性能，但可能适用范围较窄。 有限单元法是一个系统的工程，它涉及从几何离散到物理模型建立，再到数值求解和结果验证的全过程。掌握这一方法对于理解和解决实际结构问题至关重要，且随着软件技术的发展，其在工程领域中的应用越来越广泛。