大连理工矩阵大作业：数值实验与线性方程组解法

"该文档是大连理工高校2021级工科硕士研究生关于《矩阵与数值分析》课程的一个数值试验报告。实验涉及了矩阵计算中的两个主要问题：一是序列求和方法对计算精度的影响，二是线性方程组的解法——Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的应用及迭代收敛性的观察。" 在报告中，学生们被要求计算一个特定序列的和，该序列由项 \( \frac{1000000}{j^2-1} \) 组成，其中 \( j \) 从3到 \( N \) (包括 \( N \))。实验分两部分进行，一部分按照从小到大的顺序累加，另一部分按照从大到小的顺序累加。通过比较这两种方法计算 \( N=10000 \) 和 \( N=1000000 \) 的结果，发现两者在有效数字上都是16位，但按照从大到小的顺序计算时，由于浮点数运算的舍入误差，结果的精度受到了影响。这揭示了一个重要的数值计算原则：为了避免大数“吃掉”小数导致的精度损失，应当尽可能采用从小到大的加法顺序。 接下来，实验转向了解线性方程组，具体是使用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法来求解一个特定形式的线性方程组。系数矩阵 \( A \) 是由1、-1和0构成的对角占优矩阵，其中1位于对角线上，-1位于对角线下方的主对角线上，其余位置为0。迭代过程持续进行，直到满足一定的停止条件，即连续两次迭代解的范数差小于设定的阈值 \( 10^{-10} \)。 在实际运行这两种迭代法后，学生记录了迭代过程中的残差范数变化，并绘制了迭代曲线。这种分析有助于理解两种方法的收敛速度和稳定性。尽管报告中没有给出具体的迭代曲线图，但可以推断，通过对残差变化的可视化，学生能够评估迭代法的效率和收敛性质。 这个矩阵大作业不仅涉及基础的矩阵运算，还强调了数值计算中的关键问题，如计算顺序对精度的影响以及迭代法在解决线性方程组中的应用。这些内容对于深入理解数值分析和矩阵理论至关重要，同时也提醒了我们在实际计算中需要注意的精度控制和算法选择。