华南理工2005年信号与系统考研试题解析

"华南理工大学2005年信号与系统考研试题" 这份试题涵盖了信号与系统这一学科的关键知识点，包括信号的拉普拉斯变换、系统的性质分析、采样定理、线性时不变系统（LTI）的响应计算、傅立叶级数以及离散信号处理等。 1. 拉普拉斯变换及其收敛域：题目中提到了信号 \( x(t) = e^{-2t} \) 的拉普拉斯变换为 \( X(s) \)，要求确定其收敛域。拉普拉斯变换是将时域信号转换到复频域的一种工具，对于信号 \( x(t) \)，其拉普拉斯变换通常写作 \( X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} x(t) dt \)。对于 \( x(t) = e^{-2t} \)，其拉普拉斯变换可以直接计算得出，并根据拉普拉斯变换的性质确定收敛域。 2. 系统性质分析：题目中的系统由输入输出关系 \( y(t) = \int_0^t (x(\tau) + 2x'(t)) d\tau \) 定义，要求判断系统是否为线性、时不变。线性系统的定义是系统对任意比例的输入信号的响应也成比例，而时不变系统是指系统的输出只与输入的历史状态有关，与输入发生的时间无关。通过分析给定的微分方程，我们可以确定系统的这些属性。 3. 采样定理：题目中提到的带限信号 \( x(t) \) 的截止频率为 \( \omega_c = 1500\pi \) rad/s，要求找出满足奈奎斯特定理的最短采样间隔 \( T_{max} \)。根据奈奎斯特定理，无失真采样频率至少应为信号最高频率的两倍，即 \( f_s > 2f_c \)。这里 \( f_c \) 是信号的截止频率，将 \( \omega_c \) 转换为频率后计算 \( T_{max} \)。 4. LTI系统的响应计算：给定了一个LTI系统的单位阶跃响应 \( u(t) = 3 - 2e^{-t} - e^{-3t} \)，要求计算系统对输入 \( x(t) = \sin(\pi t) \) 的响应 \( y(t) \)。LTI系统的输出可以通过卷积运算得到，即 \( y(t) = x(t) * h(t) \)，其中 \( h(t) \) 是系统对单位阶跃响应，\( x(t) \) 是输入信号。 5. 傅立叶级数与序列性质：题目给出了一实偶周期信号 \( x[n] \) 的周期为 \( N = 4 \)，并且提供了某些傅立叶系数，要求根据傅立叶级数的性质计算其他系数。傅立叶级数用于将周期性信号分解为正弦和余弦函数的线性组合，对于实偶信号，其傅立叶系数有特定的关系，例如 \( a_{-k} = a_k \)。 6. 离散信号处理：这部分包含了一些关于离散信号和序列的问题，如序列的和、离散信号的性质、以及信号操作对信号的影响，如延迟、倒放、改变播放速度等。 这些题目展示了信号与系统课程中的核心概念，包括连续时间信号的分析、离散时间信号的处理、系统分析以及频域表示等。解答这些问题需要对信号处理的基本理论有深入的理解，并能灵活应用到具体问题中。