马尔可夫链的非常返状态与常返集特性

马尔可夫链是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机系统的动态行为。它主要分为离散时间和连续时间两类，根据状态空间和参数空间的不同进行区分。在离散状态下，马尔可夫链通常表现为有限或可数状态，而连续状态马尔可夫过程则涉及到连续的数值状态。 马尔可夫链的核心特征是满足马尔可夫性质，即在任意时刻t，系统的未来状态仅依赖于当前状态，而不考虑过去的历史。具体来说，对于任意状态i和j，转移概率P_{ij}表示从状态i到状态j的概率，这与时间步数n无关，当转移概率具有平稳性时，链被称为齐次马尔可夫链，其转移概率矩阵P=(p_{ij})固定不变。 章节5的第1节首先介绍了马尔可夫链的分类，包括可数状态的离散马尔可夫链和连续状态的马尔可夫过程。定义了n时刻的一步转移概率P_{ij}，以及当转移概率不随时间变化时的平稳性概念。一个具体的例子是独立随机变量和的序列，通过累加独立同分布的随机变量Y_n，可以构造出一个马尔可夫链。 另一个重要的应用实例是M/G/1排队系统，这是一种经典的性能模型，描述了顾客按照泊松过程到达，服务时间遵循特定分布G的单服务器排队系统。这个模型中的顾客行为和服务器服务过程都符合马尔可夫链的性质，因为它们的未来行为仅取决于当前状态（队列长度和服务器状态）。 在讨论马尔可夫链时，我们还注意到了非常返状态和基本常返集的概念。如果系统从一个非常返状态开始，它可能无限期地留在非常返集中，或者在某个时间点进入基本常返集，并永远在这个集合内循环。有限不可约马尔可夫链的每一个状态实际上都是常返态，这意味着最终系统总会落入某种确定的行为模式。 马尔可夫链是描述随机系统随时间演变的一种数学工具，其理论基础包括转移概率、平稳性以及状态分类，这些概念在实际问题中有着广泛的应用，如通信网络、人口动态模型、金融预测等领域。理解马尔可夫链不仅有助于分析系统的稳定性，还能揭示其潜在的规律和优化策略。