中山大学数值计算方法A卷考试详解

"这份资料是2009年数值计算方法A卷的答案，由张军提供，主要涵盖数值计算中的各种基本概念、公式和方法，包括填空题、线性插值、误差分析、迭代法等内容，适用于复习或检验学习效果。" 本文将详细解析这份试卷中的知识点，以帮助理解数值计算的核心概念。 1. 梯形求积公式是数值积分的一种方法，用于近似计算定积分。给定函数f(x)，在区间[a, b]上，梯形法则的公式是：∫_a^b f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b))/2。 2. 直线拟合是最简单的曲线拟合方式。题目中提到的三点A(0,1), B(1,3), C(2,2)可以通过两点式直线公式求得，即y = mx + c，通过代入点的坐标可以得到直线方程y = 2x + 1。 3. 误差类型包括模型误差（理论模型与实际问题的差异）、观测误差（数据采集过程中的误差）、截断误差（有限项近似导致的误差）和舍入误差（计算机表示数的精度限制产生的误差）。 4. 有效数字是指一个数中从第一个非零数字到末尾的所有数字，以及可能存在的前导零。题目中x* = 0.03000有四位有效数字。 5. 拉格朗日线性插值公式用于在两个已知点间插值，公式为L(x) = Σ(y_i * L_i(x))，其中L_i(x)是拉格朗日基多项式，对于题目中的(x_0, y_0)和(x_1, y_1)，L(x) = (x - x_1)/(x_0 - x_1) * y_0 + (x - x_0)/(x_1 - x_0) * y_1。 6. 差商是函数f在某点的局部线性近似，对于函数f在x处的一阶差商f[1]_n = (f(x_n + h) - f(x_n))/h，二阶差商f[0]_n = (f(x_n + 2h) - f(x_n))/2h。 7. Newton迭代法用于求解方程的根，公式为x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，收敛阶为2，表示每次迭代后函数值的下降速度。 8. 矩阵A的范数有无穷范数||A||_∞和1范数||A||_1，分别等于矩阵各列的最大元素绝对和及各行的最大元素绝对和。题目中给出的矩阵A的||A||_∞ = 24，||A||_1 = 25。 9. 差分是数值微分的一种方法，差商是差分的逆运算。一阶向前差分n-th差商的公式是n_n f[x] = (f(x + nh) - f(x))/nh。 10. 牛顿迭代法用于求解方程f(x) = 0的根，迭代公式为x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)。 11. 计算球体体积V = 4/3 * π * R^3时，若要求相对误差限为1%，则半径R的测量允许的相对误差限为1/(3R^2)。 12. 雅克比迭代法是求解线性系统Ax=b的迭代方法，其迭代矩阵是一个对角占优的三角形矩阵，具有形式J = [a_ij]，其中非对角线元素满足|a_ij| < |a_ii|，i≠j。 这些知识点构成了数值计算的基础，包括数值积分、插值、误差分析、迭代法和线性代数中的矩阵范数，对于理解和应用数值计算方法至关重要。