合肥工业大学计算方法期末考试试卷A

"合肥工业大学2019-2020_计算方法_A卷.pdf" 这篇资料是关于合肥工业大学计算方法课程的期末考试试卷，涵盖了数值分析中的关键知识点。试卷包含填空题和选择题，主要涉及计算方法的基础概念、算法和理论。 1. **填空题** - 问题1提及了π的近似值355/113，这是一个著名的无理数π的有理近似，具有7位有效数字。 - 问题2涉及二分法，这是一种寻找方程根的数值方法。要找到方程`f(x) = x^3 - 1`在[1, 2]内误差不超过10^-3的近似根，需要通过反复将区间折半来逼近，具体次数取决于每次迭代中区间的减小程度。 - 问题3提到了Lagrange插值多项式，它是数值分析中的一种插值方法，通过三个样点(0,1), (1,2), (2,3)构建，其插值基多项式表达式为`L(x) = P0(x) + P1(x) + P2(x)`，其中P0, P1, P2是基于这些样点构建的插值多项式。 - 问题4讨论的是求积公式的代数精度，表示公式对多项式函数的精确度。给定的求积公式具有3阶代数精度，意味着它可以准确计算所有最高次数不超过3的多项式函数的定积分。 - 问题5是关于欧拉方法，这是一种常微分方程的数值解法。给定微分方程`y' = 8y - 3`，使用欧拉公式进行求解时，迭代格式为`y_{k+1} = y_k + h * f(x_k, y_k)`，其中h是步长，f是微分方程的右边。 2. **选择题** - 题目1考察了差商的概念，差商是函数在某一点的局部线性近似，对于给定的函数和节点，计算差商可以确定其导数值。选项未给出具体解答。 - 题目2询问3个节点的高斯求积公式的代数精度。3个节点的高斯公式通常具有5次代数精度。 - 题目3涉及迭代格式的收敛阶数，题目中给出的格式`x_{k+1} = (1/2)x_k + (1/2)x_{k-1}`是简化的雅可比迭代，其收敛阶数为1。 - 题目4是关于矩阵范数的定义，F-范数（也称为 Frobenius 范数）是矩阵元素绝对值平方和的平方根，选项B给出了正确答案。 - 题目5涉及迭代矩阵的谱半径，谱半径是矩阵所有特征值的绝对值的最大值，对于给定的迭代矩阵J，其谱半径是1。 这些题目涵盖了数值方法中的基本概念，如数值求根、插值、求积、微分方程的数值解法、矩阵分析和迭代法的收敛性。这些都是计算方法或数值分析课程的核心内容，旨在检验学生对这些理论和算法的理解与应用能力。