2016级线性代数期末难题解析：行列式、矩阵运算与特征值

本资源是一份针对2016级《线性代数与几何(A)》课程的期末试卷及解答，包含了选择题和填空题，主要考察了线性代数的基础概念和计算。 1. **四阶行列式符号判断**：题目询问在给定的四阶行列式中，某个元素（标记为“aaaa”）所在的项的符号。这涉及到行列式的符号规则，即行（列）主元互换符号改变，如果“aaaa”位于奇数个负号行（或列）的交叉位置，其符号为“-”，反之为“+”。 2. **三阶方阵行列式乘法**：已知一个三阶方阵A的转置等于它的负数，即|A|= -|Aᵀ|，要求计算|AAᵀ|。这是一个关于矩阵的性质，涉及矩阵的迹（对角线元素的和）和行列式的乘积，通常在讨论矩阵的谱定性时会用到。 3. **三角形面积计算**：根据三个三维向量（A、B、C）作为顶点，题目要求计算所构成的三角形的面积。这涉及向量的几何应用，通过向量叉乘得到面积公式进行计算。 4. **矩阵乘法和逆矩阵关系**：当两个可逆矩阵A和B相乘后，它们的逆矩阵的乘积可以简化表示为|A|^(n-1) * |B|^(n-1) * (A^-1 * B^-1)，这涉及到矩阵乘法和逆矩阵的性质以及行列式的幂运算。 5. **伴随矩阵**：如果A是可逆矩阵，其伴随矩阵*\( A \)*)的计算涉及到矩阵的行列式及其逆矩阵的关系，即\( (*A)^{-1} = \frac{1}{|A|} A^T \)。 6. **向量线性相关性和秩**：对于一组非零向量，如果它们的线性组合为零向量，那么它们的秩为n-1；如果向量组秩为1，说明至少有一向量可以被其他向量线性表示。这里涉及向量空间的线性相关性和秩的概念。 7. **正定二次型参数范围**：正定二次型的系数k需满足条件，使得对应的矩阵对所有非零向量都有正的标量积，这与k的取值有关，通常是k>0。 8. **相似矩阵的行列式关系**：如果矩阵A和B相似，它们的特征多项式相同，因此行列式关系为|B+E| = |A+E|^(n-1)。 9. **特征值问题**：特征向量(1,1,1)T对应特征值2，题目要求计算矩阵A的某个元素的和，这依赖于矩阵的具体结构和特征向量的性质。 10. **曲面旋转形成**：通过给出的曲面方程，判断它是如何绕坐标轴旋转而成的，这可能涉及到多元微积分中的旋转体体积计算。 整份试卷涵盖了线性代数的核心概念，如行列式、矩阵运算、特征值与特征向量、正定性、向量空间的性质等，旨在检验学生对这些基本概念的理解和运用能力。