广义双对称解的迭代求解法：AXB=C

"本文探讨了一种迭代方法，用于求解矩阵方程AXB=C的广义双对称解。由沈凯娟、尤传华和杜玉霞共同撰写，来自兰州大学数学与统计学院。文章提出了一种在没有舍入误差的情况下，通过有限次迭代步骤找到矩阵方程一致解的迭代方法。此外，还讨论了如何选择特定类型的初始广义双对称矩阵以获得最小范数解，并能导出给定矩阵X0在Frobenius范数下的唯一最佳近似解。数值实例证明了算法的有效性。" 矩阵方程AXB=C是线性代数中的一个重要问题，尤其当涉及到系统建模和控制理论时。在本文中，作者关注的是该方程的广义双对称解。一个矩阵X被称为广义双对称，如果它满足两个条件：X=PXP，其中P是一个广义反射矩阵（即P的转置等于其自身，且P的平方为单位矩阵I）。这种特殊类型的矩阵在某些应用中具有重要性，例如在量子力学和统计力学中的对称性问题。 文章的核心贡献在于提出了一种迭代方法来求解这种特殊形式的矩阵方程。这种方法适用于任何初始的广义双对称矩阵X1。在矩阵方程一致（即有解）的情况下，只要没有舍入误差，可以通过迭代法在有限步后找到广义双对称解。这为实际计算提供了有效的工具，因为通常情况下，直接求解这类非标准矩阵方程是相当复杂的。 进一步，作者讨论了如何通过选择特定类型的初始广义双对称矩阵来获得该方程的最小范数解X∗。最小范数解在许多优化问题中具有重要地位，因为它通常对应于某种意义上的最优解。此外，他们还展示了如何利用这个方法找到给定矩阵X0在Frobenius范数下的唯一最佳近似解ˆX，这是通过求解新的矩阵方程AeXB=eC来实现的，其中eX=X-X0，eC=C-AX0B。 通过数值实例，作者验证了所提出的迭代算法的效率和准确性。这些实例不仅验证了理论分析，也显示了算法在实际应用中的实用性。这项工作为解决具有特定对称性的矩阵方程提供了一个有效且实用的工具，对于相关领域的研究者和工程师具有重要的参考价值。