小波变换基础：从傅里叶到连续小波变换

"这篇资源主要介绍了小波变换的基本原理，特别是连续小波变换（CWT），并探讨了其在时频分析中的应用。" 小波变换是一种强大的信号处理工具，它能够同时提供信号在时间和频率域的信息，克服了传统傅里叶变换在局部时频分析方面的局限性。在许多领域，如音乐分析、地震学、医学成像和信号检测等，小波变换都显示出了极大的潜力。 **引言** 傅里叶变换因其直观性、数学完美性和计算效率而被广泛应用。然而，傅里叶变换无法提供信号在时间上的局部信息，只反映了信号的全局特性。当需要分析信号的局部特征，例如在特定时间点的频率成分，傅里叶变换就显得不足。这就催生了时频分析的需求，以解决信号分析的这一问题。 **时频展开** 时频展开的目标是找到一个方法来计算信号的瞬时傅里叶变换，即在任意时间点都能得到信号的频率分布。为了实现这一目标，研究人员提出了各种时频分析方法，如短时傅里叶变换（STFT）、Gabor变换以及本文的重点——连续小波变换。 **短时傅里叶变换（STFT）** STFT是通过在信号上应用窗函数来实现局部分析的一种方法。窗函数通常在时间上有限且非零，将信号截断为较短的部分，然后对每个部分进行傅里叶变换。窗函数的位置（时间变量ґ）可变，从而得到不同时间点的频谱信息。STFT的表达式为： \[ X(ґ,F) = STFT\{x(t)\} = FT\{x(t)w(t-ґ)\} \] 其中，w(t-ґ)是中心在时间点ґ的窗函数。 **连续小波变换（CWT）** 连续小波变换是另一种时频分析方法，它允许尺度（缩放因子a）和位置（时间平移ґ）连续变化，以更精细地探索信号的局部特性。与STFT使用固定形状的窗函数不同，小波变换使用一族形变的基函数，这些基函数通常具有良好的时间频率集中性质。对于CWT，基函数（小波函数）会随时间和尺度改变，从而可以更好地适应信号的瞬时变化。 **小波变换（WT）** 小波变换包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换，它们提供了一种多分辨率的分析手段。DWT主要用于离散信号，而CWT则适用于连续或采样信号。小波变换的灵活性使得它在信号处理中具有广泛的应用，例如在图像压缩、噪声去除、信号去噪和异常检测等方面。 连续小波变换是时频分析的重要工具，通过调整尺度和位置参数，可以揭示信号在时间轴上的局部频率特性，为复杂信号的理解和处理提供了强大支持。在实际应用中，如音乐分析中的音符识别，石油勘探中的地震波分析等，小波变换都能发挥关键作用。