高等数学：函数与极限详解

"该资源是一份关于高等数学中函数与极限的高清PDF教材，内容涵盖了函数的定义、性质、连续性、间断点以及极限的概念、数列极限和函数极限的计算方法，还包括无穷小量的阶和求极限的策略。" 在高等数学的基础部分，函数与极限是核心概念，它们构成了微积分的基础。首先，函数被定义为一个规则，它将一个集合（定义域）中的每个元素映射到另一个集合（值域）中的唯一元素。函数的性质包括有界性（函数值不会无限大）、单调性（函数值随自变量增加或减少而增减）、奇偶性（关于原点或轴对称）和周期性（函数值会重复出现的特性）。反函数是原函数的逆操作，复合函数是两个或多个函数的组合。函数的运算如加、减、乘、除以及复合，可以用来构造新的函数。 函数的连续性是衡量函数在某一点的行为。如果函数在某点的极限存在且等于其函数值，那么就说函数在该点连续。根据左右极限的存在情况，间断点可分为可去间断点（通过修改函数定义可以消除的间断）、跳跃间断点（函数值在间断点两侧不连续地跳变）和无穷间断点（函数值趋向于无穷大）以及振荡间断点（函数值在间断点附近无限振荡）。 闭区间上的连续函数具有重要的性质，如有界性（在任何闭区间上都有最大值和最小值），最大值最小值定理（闭区间上的连续函数一定能取到最大值和最小值），零点定理（如果函数在闭区间上连续且在区间两端取符号相反的值，那么至少有一点使得函数值为零），以及介值定理（如果函数在闭区间上连续，那么对于任意两点的函数值之间，函数图像必然穿过所有介于这两点之间的值）。 接下来，极限是分析函数行为的关键工具。数列极限定义了数列随着项数增加趋近于某个值的过程，而函数极限则关注函数值在某点附近的行为。函数极限的定义包括左极限和右极限，如果两者都存在且相等，那么函数在该点的极限就存在。夹逼准则和单调有界准则分别是判断和计算极限的常用方法。无穷小量和无穷大量的概念帮助我们理解极限的本质，比如高阶无穷小表示比其他无穷小变化更慢，等价无穷小意味着两者的比值趋于1。 求极限的方法包括利用单调有界准则（单调且有界的数列必有极限）、夹逼准则（如果函数值被两个趋近于相同值的函数夹住，那么函数本身也趋向于那个值）以及极限运算准则（如四则运算、乘积、商和复合函数的极限规则）等。 这份PDF教材详细阐述了这些概念，适合学习和复习高等数学中的函数与极限知识，尤其适合打印阅读。