Warshall-Floyd算法实现最短路径MATLAB代码解析

"该资源主要介绍了图论算法中的Warshall-Floyd算法，并提供了相应的MATLAB程序代码示例，用于求解赋权图中的最短路径。同时提到了Kruskal算法作为构建最小生成树的方法。" 在图论中，Warshall-Floyd算法是一种解决最短路径问题的动态规划方法，尤其适用于有向图。对于赋权图G=(V,E,F)，其中V是顶点集，E是边集，F是边上的权重，算法的核心在于通过不断更新所有顶点对之间的最短路径来找到任意两点间的最短距离。 算法步骤如下： 1. **赋初值**：初始化距离矩阵D，令D(i,j)=aij，rij=j，其中dij表示从顶点vi到vj的初始距离，rij表示最短路径上经过的中间顶点编号。对于非邻接顶点，dij设置为无穷大（在MATLAB中通常用Inf表示）。 2. **更新最短路径**：遍历所有顶点k，对于所有顶点对(i,j)，如果从i经过k到j的距离(dik + dkj)小于当前的dij，则更新dij为dik + dkj，rij为k。这一步骤会尝试通过中间顶点k寻找更短的路径。 3. **终止条件**：当所有可能的路径都被检查过（即k遍历完整个顶点集n），或发现负权回路（即存在dii < 0的情况，意味着存在负权环路）时，算法终止。在MATLAB程序中，通过循环迭代和条件判断实现这一过程。 给出的MATLAB程序代码实现了上述算法，通过矩阵操作进行动态更新，并在每次迭代后检查是否存在负权回路。如果找到负权回路，程序会提前终止。最后，D矩阵包含了所有顶点对的最短距离，R矩阵记录了最短路径上的中间顶点。 另一个提到的算法是Kruskal算法，它是构造最小生成树的经典算法。Kruskal算法按照边的权重非递增顺序处理边，每次添加一条边到当前的边集合T中，但要确保新添加的边不会形成环路。这个过程持续到T中的边数等于图G的顶点数减一，此时得到的边集合T就是G的最小生成树，其总权重是最小的。在实际应用中，为了快速检测新添加的边是否会形成环路，可以利用并查集等数据结构。