优化排序工作量：逆序对统计算法

在"第5次课 排序工作量(逆序对）-2020-12-20"的课程中，主要讨论的是关于排序算法中的工作量评估，特别是关注于逆序对的数量。SORT公司是一家专门提供排序服务的企业，其服务计费依据是移动物品（即元素）的次数，也就是排序过程中元素位置改变的频率。逆序对的概念在这里起到了关键作用，它是衡量一个序列无序程度的一个指标。逆序对是指在有序序列中，一个元素大于其后一个元素的组合，例如在序列A[1, 4, 2, 5]中，(1, 4)和(1, 5)都是逆序对。 问题的核心任务是编写一个高效的程序，计算一个给定整数数组中逆序对的数量。输入是一个包含n个元素（1≤n≤100000）的长整型数组，输出则是逆序对的总数。最直接的方法是使用双层循环遍历数组，逐个比较元素，但这种方法的时间复杂度为O(n^2)，无法满足大规模数据的要求，因为对于大规模的数据，这样的算法会超出时间限制。 为了优化算法，课程引入了二分法这一高效排序和搜索技术。二分法是一种分治策略，它将一个大问题分解成规模较小但结构相同的子问题，并通过递归求解这些子问题，最终将子问题的解合并成原问题的解。这种方法能够将时间复杂度从O(n^2)降低到O(n log n)，这对于排序问题来说是非常理想的。 在解决这个问题时，我们可以使用二分查找的思想来辅助判断每个元素与其右侧所有元素的大小关系。具体步骤如下： 1. 判断问题是否可以进一步分解：如果数组长度小于等于1或者已排序，可以直接返回0（没有逆序对）。 2. 如果可以分解，将数组分为两半，分别对左右两部分递归地进行相同的操作。 3. 在每一步递归中，计算左半部分元素与右半部分元素中大于左边界值的第一个元素的逆序对数量。这可以通过一次线性扫描完成，时间复杂度为O(n)。 4. 合并左右子问题的逆序对数量，得到整个数组的逆序对总数。 通过这种方法，可以大大提高计算逆序对的效率，使得算法在大规模数据上也能在合理的时间内得出结果。学习和掌握这种利用二分法优化排序问题的技巧，对于解决类似问题至关重要，也是提高编程技能和理解复杂算法的关键环节。