完全背包算法详解与实现

"完全背包Piggy-Bank是杭电ACM课程中涉及的一个经典算法问题，主要讨论在背包问题的背景下，如何处理物品可以无限取的情况。此问题与01背包有所不同，01背包中每种物品仅有一个单位，而在完全背包中，每种物品可以取任意数量。这种问题可以通过转化成01背包问题来解决，但需要采取不同的策略。 01背包问题的解决通常使用动态规划，其核心在于状态转移方程，即`f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}`，其中`f[i][v]`表示前`i`件物品在容量为`v`的背包中能获得的最大价值，`c[i]`是第`i`件物品的费用，`w[i]`是其价值。动态规划表格会按容量从大到小填充，以确保在选择物品时优先考虑更大的容量。 完全背包问题可以正向填充动态规划表格，因为每种物品可以取无限个，所以不必担心物品被过早排除。状态转移方程可能会有所变化，例如变为`f[v] = max(f[v], f[v - c[i]] + w[i])`，这里的`f[v]`表示在容量为`v`的情况下能获得的最大价值，不再依赖于物品的数量`i`，而是直接考虑所有物品。 在实际编程实现时，可以使用一个循环来遍历所有物品，并对每个物品的费用进行判断，看是否能在当前容量下放入，如果可以，就更新最大价值。这种方法适用于完全背包问题，因为它允许同一物品被选多次。 除了01背包和完全背包，还有多重背包、混合背包、二维费用背包、分组背包以及有依赖的背包等不同类型的背包问题，它们各自有不同的约束条件和解决方案。掌握这些背包问题对于理解和解决更复杂的动态规划问题具有重要意义。 完全背包Piggy-Bank是动态规划在ACM竞赛中的一种应用，它要求程序员灵活地运用状态转移思想，根据问题特性调整策略，以找到最优解。通过此类问题的练习，可以提高对动态规划的理解和应用能力，为解决其他复杂问题打下坚实基础。"