同伦方法求解水平线性互补问题及全局收敛性分析

"该文是关于求解水平线性互补问题的同伦方法，由赵雪、张树功等人撰写，介绍了如何运用组合同伦方程和N-矩阵的定义来解决这一问题，并证明了这种方法的全局收敛性。文章特别关注了在经济均衡、非合作博弈和交通信号等领域的应用，提出了一种新的求解途径。" 文章深入探讨了水平线性互补问题(HLCP)，这是在多个领域，如二次规划、非合作博弈和交通管理中常见的问题。HLCP的形式为\( q \geq Bx + Ay \geq 0, x^Ty = 0 \)，其中\( q, x, y \in R^n \)，\( B, A \in R^{n \times n} \)。为了解决这个问题，作者构建了一个名为组合同伦方程的动态系统，其形式为： \[ \begin{cases} y - tXy = x \\ x^Ty = 0 \\ x - tx + w = q \\ Bx + Ay - tw = 0 \\ H(\mu) = -x^Tw \end{cases} \] 其中\( X \)是对角矩阵，\( w \)是额外变量，\( t \)是同伦参数，\( \mu \)是控制参数。这个方程组随着\( t \)的变化形成了一个从问题的初始状态到目标状态的连续路径。 此外，文章还引入了N-矩阵的概念，这是一种特殊的矩阵类型，其特性对于分析 HLCP 的解具有重要意义。N-矩阵的定义和性质为构造组合同伦内点方法提供了理论基础。作者通过N-矩阵和同伦路径的性质，证明了在特定条件下，所提出的同伦方法具有全局收敛性，这意味着无论初始猜测如何，算法都能保证找到问题的解。 文章的关键词包括水平线性互补问题、同伦方法和全局收敛性，表明研究的核心在于开发和分析新的数值方法，用于解决这类具有广泛应用背景的问题。通过这种方法，作者为HLCP的求解提供了一个新的工具，这对于优化和决策问题的求解具有实际价值。 引用文献涵盖了国内外学者在水平线性互补问题上的研究成果，表明该领域已有广泛的研究，而作者的方法是对现有技术的一个补充和改进。最后，文章通过定义和理论分析，展示了如何将复杂的互补问题转化为可求解的数学模型，为实际问题的建模和求解提供了理论支持。