MATLAB求解非线性方程：二分法与Newton迭代法

"科学计算与MATLAB-8-非线性方程求根" 这篇资料主要介绍了在科学计算中如何使用MATLAB解决非线性方程求根的问题，由中南大学材料科学与工程学院的唐建国教授主讲。课程内容涵盖了非线性方程在工程和科学研究中的应用，以及几种常用的数值求解方法。 1、引言 非线性方程求解在各个领域都有广泛应用，例如控制系统设计和人口增长模型等。以Vanderwaals方程为例，这是一个描述真实气体状态的非线性方程，通过该方程可以找到在特定温度和压力下气体的体积。非线性方程的一般形式为f(x) = 0，它可以是代数方程（如多项式），也可以是包含超越函数（如三角函数、指数函数）的超越方程。数值求解非线性方程通常包括两个步骤：首先找到包含根的区间，然后逐步提高根的近似精度。 2、方程求根的二分法 二分法是一种基础的数值方法，适用于确定方程在已知区间[a, b]内存在唯一实根的情况。其基本思想是不断将区间分为两半，根据函数在中点的符号改变来缩小根的可能位置。每次二分后，新区间长度减半，随着迭代次数的增加，区间越来越接近根。介值定理保证了在连续函数的区间内，如果函数值在区间端点异号，那么必然存在至少一个根。通过不断二分，可以使得根的估计值逐渐精确。 3、迭代法 迭代法是一种更通用的方法，包括简单迭代和复合迭代等。在迭代过程中，从一个初始近似值开始，通过应用某个迭代公式来逐步改善近似值，直到达到所需的精度。Newton迭代法是迭代法的一个典型例子，它利用函数的切线来逼近根，迭代公式为x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)，其中f'(x_n)是f(x)在x_n处的导数。Newton法的优点是收敛速度快，但需要函数及其导数的信息。 4、MATLAB的非线性方程求根函数 MATLAB提供了内置函数`fsolve`用于求解非线性方程组，它基于一种称为信赖域方法的全局优化算法。用户只需定义一个函数，该函数返回方程的残差，MATLAB则负责内部的迭代过程，寻找满足一定精度要求的根。 5、小结 科学计算中解决非线性方程求根的问题是关键的一步，MATLAB提供了强大的工具和算法来支持这一过程。通过二分法、迭代法，尤其是利用MATLAB的内置函数，可以有效地处理各种复杂的非线性问题。理解和掌握这些方法对于进行科学计算和工程实践至关重要。