线性代数期末考试题精选：矩阵性质与向量组相关性

一、矩阵相似性与可逆性 1. 在线性代数中，如果两个矩阵A和B相似，意味着它们可以通过相似变换达到相同的形式，即存在一个可逆矩阵P使得P^-1AP=B。题目指出，矩阵A与B相似，必然意味着它们要么同时可逆（都有逆矩阵），要么都不可逆。这是因为相似矩阵的秩（非零特征值的个数，决定矩阵是否可逆）是一致的。 2. 向量组的相关性是另一个关键概念。如果一个向量组中的第一个向量（如𝛂𝟏）与最后一个向量（𝛂𝐦）对应分量成比例，这意味着它们可以被写成一个常数倍数的关系，从而推断整个向量组线性相关。线性相关性意味着至少有一个向量可以由其他向量通过线性组合得到。 二、矩阵性质与线性代数应用 3. 题目提到正交矩阵是特殊的单位矩阵，其行向量组构成的标准正交基意味着这些向量彼此正交且单位长度，这在欧几里得空间中是非常重要的几何特性，对于数据降维和旋转等操作有广泛应用。 4. 对于4阶矩阵A，行列式|A|=0通常意味着矩阵A不可逆，因为非零矩阵的行列式不为0。选项分析：（A）错误，因为全为0的列并不导致行列式为0；（B）错误，两列成比例可能不影响行列式；（C）正确，行列式为0说明至少有一列是其余列的线性组合；（D）错误，任意列向量成比例才会导致行列式为0，而不是线性组合。 5. 对于齐次线性方程组，若秩小于未知数的总数，说明方程组有非零解，但并非唯一解。选项分析：（A）错误，非唯一解；（B）正确，非唯一解时解空间维度为r(A)；（C）正确，用r(A)来描述解的向量数量；（D）错误，秩小于n说明不是无穷多解。 6. 欧式空间的标准正交基下，向量模长的计算是直角坐标系下的简单几何问题。向量(1,2,3)T - (2,0,6)Tk正交意味着这两个向量的点积为0，即k=-4。 三、矩阵的等价与合同关系 7. 对于矩阵PAP^T=B，表明矩阵A与B通过相似变换达到等价关系，即秩不变。选项分析：（1）正确，因为P的逆矩阵P^-1存在，所以A与B合同；（2）正确，等价关系；（3）正确，合同矩阵的秩相等；（4）不确定，虽然相似关系也可能成立，但没有直接证据。因此，正确的命题有3个。 四、向量线性关系与标量 8. 向量(1,2,3)T - (2,0,6)T = (-1,-2,-3)T正交于(2,0,6)Tk，根据向量的正交条件，它们的点积为0，解得k=4。 总结：这道题目涵盖了矩阵理论的基础内容，包括矩阵相似性、向量组的线性相关性、正交矩阵、矩阵的秩与线性方程组的解、矩阵等价和合同关系，以及向量的线性关系。考生需要扎实理解这些概念并能运用到具体问题中。