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性质 2:深度为 m的二叉树最多有 2m-1个结点;
性质 3:在任意一棵二叉树中,度为 0的结点 (即叶子结点) 总是比度为 2的结点多一个。
性质 4:具有 n个结点的二叉树,其深度至少为[ log
2
n]+1,其中[ log
2
n]表示取 log
2
n
的整数部分。
小技巧:
在二叉树的遍历中,无论是前序遍历,中序遍历还是后序遍历,二叉树的叶子结点的先
后顺序都是不变的。
3、满二叉树与完全二叉树
满二叉树是指这样的一种二叉树: 除最后一层外, 每一层上的所有结点都有两个子结点。
在满二叉树中,每一层上的结点数都达到最大值,即在满二叉树的第 k层上有 2k-1个结点,
且深度为 m的满二叉树有 2m-1个结点。
完全二叉树是指这样的二叉树: 除最后一层外, 每一层上的结点数均达到最大值; 在最
后一层上只缺少右边的若干结点。
对于完全二叉树来说,叶子结点只可能在层次最大的两层上出现:对于任何一个结点,
若其右分支下的子孙结点的最大层次为 p,则其左分支下的子孙结点的最大层次或为 p,或为
p+1。
完全二叉树具有以下两个性质:
性质 5:具有 n个结点的完全二叉树的深度为[ log
2n]+1。
性质 6:设完全二叉树共有 n个结点。如果从根结点开始,按层次(每一层从左到右)用
自然数 1,2,……, n给结点进行编号,则对于编号为 k(k=1 ,2,……, n)的结点有以下
结论:
①若 k=1 ,则该结点为根结点,它没有父结点;若 k>1 ,则该结点的父结点编号为 INT
(k/2 )。
②若 2k≤n,则编号为 k的结点的左子结点编号为 2k;否则该结点无左子结点 (显然也没
有右子结点) 。
③若 2k+1≤n,则编号为 k的结点的右子结点编号为 2k+1;否则该结点无右子结点。
考点8 二叉树的遍历
考试链接:
考点8在笔试考试中考核几率为 30%,分值为 2分,读者应该熟练掌握各种遍历的具体算法,能由两种遍历
的结果推导另一种遍历的结果。
在遍历二叉树的过程中, 一般先遍历左子树, 再遍历右子树。 在先左后右的原则下,根
据访问根结点的次序,二叉树的遍历分为三类:前序遍历、中序遍历和后序遍历。
(1)前序遍历:先访问根结点、然后遍历左子树,最后遍历右子树;并且,在遍历左、
右子树时,仍然先访问根结点,然后遍历左子树,最后遍历右子树。
(2)中序遍历:先遍历左子树、然后访问根结点,最后遍历右子树;并且,在遍历左、
右子树时,仍然先遍历左子树,然后访问根结点,最后遍历右子树。
(3)后序遍历:先遍历左子树、然后遍历右子树,最后访问根结点;并且,在遍历左、
右子树时,仍然先遍历左子树,然后遍历右子树,最后访问根结点。
疑难解答:树与二叉树的不同之处是什么?
在二叉树中,每一个结点的度最大为 2,即所有子树(左子树或右子树)也均为二叉树,而树结构中
的每一个结点的度可以是任意的。