多变量线性回归与梯度下降法解析

"Stanford University机械学习笔记，涵盖了多变量线性回归、梯度下降法及其在多变量线性回归中的应用，以及特征缩放和学习率的影响。笔记旨在通过实例解释复杂的机器学习概念，包括如何优化参数和提高计算效率。" 在机械学习领域，多变量线性回归是一种常见的预测模型，用于分析多个输入变量（自变量）如何影响一个输出变量（因变量）。在房价预测的例子中，房屋的卧室数量、楼层和房龄都是可能影响房价的因素。多变量线性回归函数将这些自变量与一个常数项结合，形成如下方程： \[ \hat{y} = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \theta_3x_3 + ... \] 其中，\(\hat{y}\) 是预测的房价，\(\theta_0\) 是截距，\(\theta_1, \theta_2, \theta_3, ...\), 分别对应每个自变量\(x_1, x_2, x_3, ...\)的权重。 梯度下降法是求解多变量线性回归模型参数的常用方法。在多变量函数中，它通过迭代更新每个\(\theta\)的值，使其朝着代价函数（例如均方误差）最小的方向移动。对于每个\(\theta\)，其更新规则与单变量线性回归类似，只是扩展到了多维空间。 特征缩放是提高梯度下降效率的技巧，通过对特征进行标准化，将它们的值约束在[0, 1]或接近[-1, 1]的范围内。这有助于加快算法的收敛速度，因为较小的特征值差异可能导致梯度更新步长过大，从而错过最优解。 均值归一化是另一种特征预处理方法，它不仅限制特征的范围，还减去每列样本的平均值，除以最大值和最小值的差，以消除特征的尺度影响： \[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \] 这里，\(z\)是归一化后的特征值，\(x\)是原始特征值，\(\mu\)是特征的平均值，\(\sigma\)是特征的标准差。 学习率是梯度下降算法中的关键参数，它决定了每次迭代时参数更新的步长。合适的\( \alpha \)可以使算法在不跳过局部最小值的情况下快速收敛。通过绘制代价函数随迭代步数的变化图，可以直观地判断算法是否正常工作。理想的轨迹应该是代价函数值随迭代减少，并在后期逐渐趋于平稳。当连续几步的代价下降幅度小于某个阈值（如\( \epsilon \)）时，可认为算法已经收敛。然而，实际操作中，监测这种微小的下降并不容易，因此通常需要调整学习率或采用其他优化策略，如动态学习率或适应性学习率算法。