使用豪斯霍尔德变换求矩阵QR分解与特征值

"这篇资源是黄玟瑜同学的数值计算方法课程作业，作业内容是使用豪斯霍尔德变换（Householder Transformation）求解两个矩阵的QR分解，并通过QR算法计算相应的特征值和特征向量。作业以Python编程的形式展示了解决方案。" 在数值线性代数中，**豪斯霍尔德变换**是一种非常重要的矩阵变换，用于将任意复数或实数方阵转换为上三角形矩阵，即进行QR分解。这里的QR分解是指将一个矩阵A表示为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，即A = QR。这种方法在很多数学和工程问题中都有广泛应用，比如求解线性最小二乘问题、求解特征值等。 **Python代码中的关键部分**包括以下几点： 1. `HouseHolder`函数实现了豪斯霍尔德变换的核心算法。首先，它初始化了单位矩阵Q和待处理矩阵R的副本。接着，对于矩阵的每一列（从第二列开始），计算剩余列的二范数，构造向量v，并构建反射矩阵P，然后更新R和Q。这个过程不断迭代，直到所有列都被处理。 2. `unshiftedQR`函数是未移位的QR分解，它调用`HouseHolder`函数对矩阵进行处理，这里可能用于计算特征值和特征向量。它首先初始化Q为单位矩阵，然后通过多次应用豪斯霍尔德变换逐步构造R。 **QR算法**是用来求解特征值的一种方法，通常在QR分解的基础上进行。在该作业中，首先通过QR分解得到R，然后重复应用QR分解的过程，每次迭代时只处理上三角矩阵R的下一行，直到R接近对角化，其对角线元素就是近似的特征值。特征向量可以通过回溯Q的累积变化得到。 需要注意的是，这里的代码可能没有完全展示求解特征值和特征向量的完整过程，因为`unshiftedQR`函数在最后一行被注释掉了，这可能是为了展示如何进行QR分解而省略了后续步骤。 这份作业涵盖了数值计算方法中的重要概念，包括豪斯霍尔德变换、QR分解以及如何利用这些工具来处理线性代数问题。通过Python实现，学生可以更直观地理解这些理论，并能够应用于实际计算。