二维Cartan-Hartogs域上复 Monge-Ampère 方程Dirichlet问题解析求解

本文主要探讨了在第二类Cartan-Hartogs域上解决复Monge-Ampère方程的Dirichlet问题。复Monge-Ampère方程是一种高阶非线性方程，其求解的困难性在于其复杂性和高度非线性。Monge-Ampère方程在几何分析、偏微分方程理论以及复分析等领域具有重要应用，特别是在度量流和全纯映射的研究中。 作者殷慰萍和殷晓岚通过分析方法来处理这个问题。首先，他们将复Monge-Ampère方程转化为一个非线性的一阶常微分方程系统。这种方法的关键在于将原问题中的高阶偏微分方程降维到一阶常微分方程，从而简化了解决步骤。这样，原本的高维度问题被转换为二维或者更低维度的边界值问题，使得求解变得更加直观和可行。 接着，他们进一步讨论了如何将Dirichlet问题的解转化为两个点边值问题的解，这是对二阶非线性常微分方程的处理。这种转化涉及到对边界条件的有效应用和解的存在性、唯一性分析，可能需要依赖于某些特定的函数空间和估计技巧，比如Hadamard型不等式或Cauchy-Kowalevski定理等。 由于这类方程在实数域上通常没有解析解，作者可能采用了数值方法或者特定的解析技术，如Green函数、调和函数的扩展或者其他特殊函数的构造，来求得在第二类Cartan-Hartogs域上的近似解。此外，他们还可能考虑了方程的正则性、奇异性以及解的连续性和光滑性等问题。 最后，本文的贡献不仅在于提供了解决复Monge-Ampère方程在特定领域内的Dirichlet问题的具体方法，也可能是对这一类问题求解策略的一次理论拓展和实践验证，对于理解和解决此类非线性偏微分方程在复分析领域的实际问题具有重要意义。 这篇首发论文深入探讨了复Monge-Ampère方程在第二类Cartan-Hartogs域上的Dirichlet问题，并展示了如何利用分析手段将其转化为可处理的形式，这对于推动该领域理论研究及应用发展具有重要价值。