使用Matlab的最优化工具箱解决线性规划问题

本资源主要介绍了如何在命令窗口中使用最优化方法，特别是通过MATLAB软件解决线性规划问题。实验目的是理解线性规划的概念，掌握MATLAB的相关语句和方法。实验内容包括线性规划的基本原理、解的情况以及求解方法。 线性规划是一种在满足一组线性约束条件下，寻找线性目标函数最优解的数学模型。它的一般形式是求解最小化或最大化的线性目标函数，同时满足一系列线性不等式或等式约束。在矩阵形式中，目标是找到向量x，使得cTx最小（或最大），其中A是系数矩阵，b是常数向量，x是变量向量，且满足 Ax ≤ b 和 x ≥ 0。 线性规划的解可能有以下几种情况： 1. 无可行解：没有解满足所有约束条件。 2. 唯一最优解：存在唯一一个解使目标函数达到最优值。 3. 无穷多个最优解：可行域边界上有多个解都能达到最优值。 4. 目标函数无界：可行域内的解使目标函数值无界，因此无最优解。 求解线性规划的经典方法是单纯形法，它通过迭代找到一个更优的基本可行解，直到找到最优解或判断无解。MATLAB优化工具箱中的`lp`函数采用单纯形法求解标准形式的线性规划问题，其函数调用格式为： ```matlab [x, fval] = lp(c, A, b, lb, ub) ``` 其中，`c`是目标函数的系数向量，`A`是不等式约束的系数矩阵，`b`是不等式约束的右端常数向量，`lb`和`ub`分别是变量的下界和上界向量。函数返回的`x`是找到的最优解，`fval`是对应的目标函数值。 在提供的示例中，使用了`fminunc`函数来求解非线性方程组，这与线性规划不同，但也是MATLAB优化工具箱的一部分，用于无约束优化问题。输入`x0=[0;0]; x=fminunc('fun5',x0)`，其中`fun5`是待优化的非线性函数，`x0`是初始猜测值，结果表明找到了非线性方程组的解`x1=1.0673`和`x2=0.1392`。 这个资源涵盖了线性规划的基本概念、解的性质以及在MATLAB中使用`lp`函数进行求解的方法，同时也涉及到了非线性优化问题的求解示例。通过学习和实践，用户可以掌握如何利用MATLAB解决实际中的优化问题。