保结构共轭梯度法求解旋转矩阵Karcher平均

"秦汉与应时辉合著的‘Conjugate Gradient Method for Computing the Karcher Mean of Rotation Matrices’是一篇关于在n阶旋转群SO(n)中计算多个旋转矩阵Karcher平均值的首发论文。该文提出了一种基于共轭梯度方法的数值求解策略，旨在解决在旋转群上的极小化问题，并保持结构一致性。" 在运筹学领域，Karcher平均是一种重要的概念，特别是在处理旋转矩阵集合的几何平均问题时。Karcher平均是旋转群SO(n)上的一种推广，它定义了一组旋转矩阵的“中心”或“平均”位置，考虑了群结构下的距离。对于n阶旋转矩阵，这个问题涉及到找到一个旋转矩阵，使得它到给定集合中所有旋转矩阵的距离之和最小。这个最小化问题可以被视为在SO(n)上的优化问题。 文章中，作者首先将Karcher平均问题转化为在SO(n)上的极小化问题。这是一个非线性优化问题，因为旋转群具有非欧几里得的几何特性。为了解决这个问题，他们引入了共轭梯度法，这是一种在迭代优化过程中寻找搜索方向的有效方法。共轭梯度法在处理对称正定矩阵的线性系统时表现出色，而且通常比其他迭代方法更快地收敛。 为了适应旋转群的特殊性质，作者设计了一个结构保持的算法。这意味着算法不仅寻求优化目标，还确保在每次迭代中结果仍保持在SO(n)群的约束内。这种保结构的方法是至关重要的，因为它确保了计算得到的Karcher平均仍然是一个有效的旋转矩阵。 通过一系列数值实验，作者比较了他们提出的算法与现有的结构保持方法，结果显示新算法在效率和性能上都有所提升。这些实验进一步验证了新算法在解决旋转矩阵Karcher平均问题上的有效性。 这篇论文提供了一种新的、高效的计算多个旋转矩阵Karcher平均的方法，这对于处理与旋转矩阵相关的各种应用，如图像配准、机器人导航和信号处理等领域，具有重要的理论和实践价值。中图分类号O29表明该研究属于数学优化的范畴。关键词包括：运筹学、Karcher平均、旋转群、共轭梯度法以及结构保持，这些关键词揭示了研究的核心内容和技术手段。