子域值多项式：有限域上置换与完全置换构造

本文主要探讨了在有限域F-pn上通过子域值多项式构造置换和完全置换的方法。有限域是数学中的一个重要概念，它是具有特定属性的域，其中元素的数量可以被素数p的幂n整除，即F-pn。有限域在密码学、编码理论、数论等领域有着广泛应用，尤其是在设计和分析安全协议以及构建高效算法时。 "子域值多项式"（Subfield-valued polynomials）在这里是指具有特定结构的多项式，其系数来自F-pk，其中k是小于n的因子，可能是相同的或者不同的。这些多项式在有限域上具有特殊的性质，能够通过它们的性质来生成置换和完全置换。置换多项式是指那些在域上将每个元素映射到不同元素的多项式，而完全置换多项式则是指能将域上的所有元素一一对应地映射到其他元素的多项式，即满足任何两个不同的元素都对应一个不同的映射结果。 文章的主要贡献在于提供了一种递归的构造策略，通过利用F-pk值多项式，可以直接生成有限域F-pn上的置换和完全置换多项式。这种构造方法不仅具有通用性，因为它涵盖了先前多种构造方法的特性，而且可能提供更高效的生成方式和更深入的理论理解。作者们从Luoyang Normal University、State Key Laboratory of Information Security、Nanjing University of Aeronautics and Astronautics以及Beijing Center for Mathematics and Information Interdisciplinary Sciences等多个机构合作，接收日期为2013年11月5日，经过修订后于2014年6月12日接受，最终于2014年10月1日上线，由Xiang-dong Hou教授通讯发表。 文章的关键数学概念包括： 1. **有限域** (Finite Field): 本文讨论的核心对象，其特点是元素个数为p^n。 2. **迹映射** (Trace mapping): 在有限域中的一个重要操作，用于定义多项式的某些性质。 3. **置换多项式** (Permutation polynomial): 对有限域中元素进行单射映射的多项式，是构造中的核心工具。 4. **完全置换多项式** (Complete permutation polynomial): 能实现域上元素完全一一映射的多项式，其存在对于某些密码学应用至关重要。 这篇论文在有限域的数学理论基础上，为置换和完全置换多项式的构造提供了一个新的视角和构造途径，这对于进一步研究有限域的性质、设计更高效的加密算法以及推动相关领域的发展具有重要意义。