李春保《算法设计与分析》习题答案详解

在《算法设计与分析(第二版）》这本教材中，第一章"概论"包含了丰富的基础概念和习题，旨在帮助读者理解算法的本质和特性。以下是部分习题及其解答： 1.1.1 练习题解析： - **关于算法的正确说法**：算法并不是求解某一类问题的唯一方法，因为可能存在多种解决策略（选项A错误）。算法必须满足在有限步骤内终止（选项B正确），每一步操作清晰无歧义（选项C正确），并确保执行后产生确定的结果（选项D正确）。因此，正确的答案是C，3个。 2. **算法效率比较**：算法效率由时间复杂度衡量。A选项递归关系暗示指数级增长，效率最低；B选项是线性二次，C选项是分治法，可能是递归或动态规划，D选项是线性对数，通常较优。D选项效率最优。 3. **算法定义及特征**：算法是一系列明确、有限的操作步骤，用于解决特定问题。特征包括：输入、输出、确定性（必有确定结果）、有限性（有限步骤内结束）、可行性（可执行）。 4. **素数判断算法**：常见的素数判定方法有埃拉托斯特尼筛法和试除法。试除法直观但效率较低，埃拉托斯特尼筛法更高效，因为它能一次性筛选多个数，对于大数更适用。 5. **时间复杂度关系证明**：题目要求证明10n^2 - 2n是多项式级别的，即O(n^2)，而2^n是指数级别，O(2^n)。证明通常通过比较系数和最高次项来完成。2n+1可以看作是线性与常数项的和，因此是线性级别的，即O(n)。 6. **时间复杂度的加法性质**：O(f(n)) + O(g(n)) = O(max{f(n), g(n)})表明两个函数的最坏情况下的运行时间之和等于两者最大值的时间复杂度。 7. **元素出现次数查找**：可以使用哈希表（如HashMap）来统计元素出现次数，时间复杂度为O(n)，然后检查是否存在某个元素超过总元素的一半。 8. **回文字符串判断**：可以采用双指针法，从字符串两端向中间遍历，对比字符是否相等，时间复杂度为O(n)。 9. **序列和查询**：可以使用哈希表或二分查找法来快速找到和为k的元素对，时间复杂度取决于数据结构的选择。 10. **公共元素查找**：可以使用两个循环，依次比较两个序列的元素，不使用STL集合的情况下，时间复杂度较高。 11. **质因数分解**：可以使用分解质因数的算法，如欧几里得算法或试除法，然后统计每个质因数的出现次数。 12. **最小差值对**：可以采用排序后，两指针法或者哈希表辅助，找出相邻元素对的最小差值。 13. **map重复值统计**：遍历map，用一个set存储已见的value，最后map中value减去set的大小即为重复值个数。 14. **map公共元素查找**：类似上题，使用map的键值对特性，找出两个map中的公共元素。 15. **栈元素提取**：利用栈的特点，出栈k个元素可以通过调用k次pop()操作，其他元素保持不变。 这些习题涉及到了算法设计的基本思想、数据结构的使用以及常见问题的解决策略，有助于提升算法设计和分析的能力。