复变函数第三章下：多连通区域的柯西定理

"复变函数第三章 下.pdf是武汉大学数学与统计学院为2019-2020学年第二学期数学弘毅班、基地班教学参考资料，主要涉及复变函数的相关知识，包括教材《复变函数》(余家荣编)和参考书《复变函数简明教程》(谭小太顺编)等。本章重点讲解了复变函数的积分，特别是多连通区域的柯西定理的推广。" 在复变函数的学习中，第三章主要讨论了复变函数的积分概念及其在多连通区域的应用。复变函数是指在复平面上解析的函数，即满足Cauchy-Riemann方程的函数。柯西定理是复变函数理论中的一个核心定理，它阐述了在单连通区域内，如果一个函数在整个区域上解析，那么沿该区域任何闭合曲线的积分等于零。 在多连通区域，情况稍微复杂。考虑由n条简单闭曲线C1, C2, ..., Cn组成的区域D，其中每条曲线都在其余曲线的外部，同时所有曲线都包含在D的内部。这样的区域D被称为有界的多连通区域，其边界为复周线。柯西定理的推广表明，如果函数f在区域D内解析，那么沿D的边界闭合曲线积分可以分解为沿各单连通子区域边界曲线的积分之和。 具体来说，设C为正向环绕D的边界，C1, C2, ..., Cn为D内的闭曲线，那么有以下关系： - 当沿着边界曲线的正向积分时，有 ∑(n=1 to n)(∫_Ci_ f(z) dz) = ∫_C_ f(z) dz。 - 当沿着边界曲线的负向积分时，有 ∑(n=1 to n)(-∫_Ci_ f(z) dz) = -∫_C_ f(z) dz。 此外，可以通过割线方法将多连通区域割破成单连通区域，然后应用柯西定理，进一步推导出积分的性质。这种割线操作不会改变函数在区域内的解析性质，因此积分性质保持不变。 这个章节的学习不仅涵盖了复变函数的基础知识，还深入探讨了其在多连通区域的应用，对于理解复变函数的积分理论具有重要意义。通过学习这一部分，学生可以掌握如何处理更复杂的复积分问题，并为后续深入研究复分析打下坚实基础。