ACM动态规划解析：背包问题与递推序列

"这篇资料主要总结了ACM竞赛中的动态规划问题，特别是关于背包问题的解题思路和算法。文章通过三个具体的动态规划题目来阐述动态规划的思想和应用，包括最大和路径问题、三参数递归函数计算以及Recaman's序列的生成。" 在ACM竞赛中，动态规划是一种常用且强大的解决算法问题的方法，尤其是在处理具有重叠子问题和最优子结构特征的问题时。以下是这三个具体问题的详细解释： 1. **最大和路径问题 (Pkuacm1163 the Triangle)**: 这个问题要求找到一个由叶子节点到根节点的路径，使得路径上数字之和最大。它是一个典型的二维动态规划问题。我们可以自底向上构建一个二维数组`number`，其中`number[i][j]`表示从第`i`行的第`j`列到当前节点的最大路径和。通过比较从当前节点向左或向右子节点的最大路径和，更新当前节点的值。 2. **三参数递归函数计算 (Pkuacm1579 Function RunFun)**: 这个问题涉及到一个三参数的递归函数`w(a, b, c)`，需要避免深度优先搜索导致的时间超限（TLE）。通过使用三维数组存储已计算的结果，可以自底向上地递推计算，从`w(0, 0, 0)`到`w(20, 20, 20)`，从而降低时间复杂度至`O(n^3)`。这种方法被称为记忆化搜索，是动态规划的一种应用，避免了重复计算相同的子问题。 3. **Recaman's序列 (Pkuacm2081 Recaman's Sequence)**: Recaman's序列是由一个递推公式定义的序列，可以通过动态规划自底向上地顺序计算。使用一个整数数组`result`来存储序列的元素，同时使用一个布尔数组`flag[i]`来记录数字`i`是否已经在序列中出现过。通过递推公式和已知的序列部分，我们可以计算出整个序列。 这些题目展示了动态规划在ACM竞赛中的多样性，从简单的二维数组动态规划到更复杂的多维数组递推，再到特定序列的生成。理解并熟练运用动态规划策略，可以帮助参赛者高效解决复杂的问题，提升比赛成绩。在实际编程中，动态规划也常用于优化算法效率，如在背包问题、最短路径问题、字符串匹配等领域。