逻辑回归 Logistic Regression：分类问题与决策边界

"机器学习之逻辑回归（LogisticRegression）" 逻辑回归（Logistic Regression），虽然名字中含有“回归”，但它实际上是一种广泛应用于二分类问题的监督学习算法。在分类问题中，我们试图预测一个离散的结果，例如邮件是否是垃圾邮件（0或1），或者交易是否欺诈（0或1）。与线性回归不同，逻辑回归不直接预测连续值，而是通过一个非线性的转换，即逻辑函数（Sigmoid Function），将线性模型的输出映射到(0,1)之间，这使得结果可以解释为概率。 1. 分类问题 分类问题涉及预测数据属于特定类别之一的情况。在二分类问题中，有两个可能的类别，通常称为负向类（negative class）和正向类（positive class）。例如，负向类可能是正常的交易，而正向类可能是欺诈交易。用0和1表示这两个类别方便计算和理解。 2. Hypothesis Representation 逻辑回归的假设函数（Hypothesis）采用线性形式，类似于线性回归，但它的输出通过逻辑函数转换，如下所示： \[ H_\theta(x) = \sigma(\theta^Tx) \] 其中，\(\sigma\) 是Sigmoid函数，定义为 \( \sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \)，\( \theta \) 是参数向量，\( x \) 是特征向量。Sigmoid函数将线性组合 \(\theta^Tx\) 映射到(0,1)之间，代表了正向类的概率。 3. 决策边界 决策边界（Decision Boundary）是将数据空间划分为两个类别区域的分界线。对于逻辑回归，这个边界是由Hypothesis函数的输出等于0.5的位置决定的。随着参数\( \theta \) 的改变，决策边界也会相应变化。当新的数据点落在边界上时，模型可能会预测为两类中的任意一个，具体取决于概率阈值。 4. 成本函数 为了优化参数\( \theta \)，我们需要定义一个成本函数（Cost Function）。在逻辑回归中，通常使用交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss Function），也称为对数似然损失。对于二分类问题，成本函数J(θ)可表示为： \[ J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}\log(H_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\log(1 - H_\theta(x^{(i)}))] \] 其中，\( m \) 是样本数量，\( y^{(i)} \) 和 \( x^{(i)} \) 分别是第i个样本的标签和特征。 5. 模型训练 通过梯度下降法（Gradient Descent）或更高效的优化算法（如拟牛顿法或随机梯度下降），我们最小化成本函数J(θ)，从而找到最优的参数\( \theta \)。优化的目标是使模型在训练数据上的预测尽可能接近实际的类别标签。 6. 多分类问题 逻辑回归也可以扩展到处理多于两个类别的问题，例如通过一对多（One-vs-All）或多项式逻辑回归（Multinomial Logistic Regression，也称softmax回归）。在多项式逻辑回归中，每个类别都有一个独立的线性模型，所有模型共享同样的特征，但具有不同的权重向量。 逻辑回归因其简单、高效和易于理解，在许多实际应用中仍然非常流行，包括广告点击率预测、信用风险评估、疾病诊断等。然而，对于某些复杂的数据分布和非线性问题，其他方法如支持向量机（SVM）、决策树或神经网络可能更为适用。