线性系统理论：状态空间描述与史密斯-麦克米伦形

"该资源是一份关于线性系统理论的PPT课件，重点讨论了系统在复频域和时间域的描述，特别是传递函数和状态空间表示。内容包括线性系统的外部描述（如传递函数）、内部描述（状态方程和输出方程），以及状态变量和状态空间描述的概念。课件还提到了史密斯-麦克米伦形（Smith-McMillan form）在确定系统特性中的应用，强调了极点和零点对于系统动态性能的影响。" 在《线性系统时间域理论》中，我们关注的是如何理解和分析线性系统的动态行为。首先，系统可以有两种主要的描述方式：外部描述和内部描述。外部描述，也称为输出-输入描述，通常采用传递函数来表征，它仅关注输入信号u和输出信号y之间的关系。对于一个SISO（单输入单输出）线性定常系统，时间域的外部描述是通过一组线性微分方程或者其复频域等价形式传递函数来表达。 另一方面，内部描述，即状态空间描述，提供了一个全面的系统视角，它包含状态方程和输出方程。状态变量是选取的一组最小变量集，能够完全确定系统的运动状态。状态方程描述了状态变量随时间的变化如何依赖于当前状态和输入，而输出方程则将状态变量转换为实际的输出信号。状态空间描述能够揭示系统的内在动力学特性，包括不能直接观测或控制的部分。 状态变量的选择至关重要，它们必须足够多以确保任何时刻的状态可以通过这些变量唯一确定。状态方程通常是一组线性常微分方程，表示为：dx/dt = Ax + Bu，其中A是状态矩阵，B是输入矩阵，x是状态向量，u是输入向量。 在复频域，传递函数矩阵G(s)的极点和零点分布对系统稳定性及响应特性有决定性影响。极点的实部决定了系统的稳定性，负实部的极点表示系统的衰减行为，而零点则影响系统的响应速度。史密斯-麦克米伦形M(s)是一种将传递函数矩阵标准化的形式，它使得系统在所有非极点零点处的结构指数为零，并且一旦知道G(s)的极点、零点及其结构指数，就能构建出M(s)。 此外，对于q×p的传递函数矩阵G(s)，其史密斯-麦克米伦形M(s)提供了更深入的系统特性分析工具，帮助我们理解系统的稳定性和动态响应。通过这些理论，工程师可以设计和优化控制系统，确保其满足特定的性能指标。