徐煜森的实验报告：Jacobi与Gauss-Seidel迭代法解析

"徐煜森同学的实验报告5主要探讨了使用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解决线性方程组的问题，重点在于理解这两种迭代方法的原理及其实现。报告中包含了对应的C++源代码实现，并通过自定义的norm函数评估解向量的无穷范数以判断迭代是否收敛。" 在数值分析和计算数学中，求解线性方程组是基础且重要的任务。当面对大型稀疏矩阵或难以直接求逆的矩阵时，迭代法成为首选的解决方案。徐煜森同学在报告中实践了两种经典的迭代方法：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。 1. Jacobi迭代法： Jacobi迭代法基于矩阵的分块对角线结构，每次迭代时更新各个变量，但不考虑当前迭代的其他变量的影响。这种方法的优点是简单，但缺点是可能收敛较慢，尤其是在矩阵对角占优性不明显时。在给出的源代码中，`Jacobi`函数首先初始化解向量`x`和上一次解`last`，然后在循环中不断更新`x`，直到相邻两次迭代的解向量的无穷范数小于预设阈值（10^-5）为止。 2. Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代法比Jacobi法更进一步，它在更新当前变量时考虑了已经更新过的相邻变量。这种即时更新的特性往往导致更快的收敛速度。在`GaussSeidel`函数中，可以看到同样的迭代更新过程，但每一步迭代会立即用新值替换旧值，使得每次迭代都基于最新信息。同样，迭代直至满足收敛条件。 3. 无穷范数与收敛性： 报告中提到了一个自定义的`norm`函数，该函数用于计算两个向量的无穷范数，这是判断迭代过程是否收敛的关键。无穷范数是指向量中绝对值最大的元素，用以衡量解向量的变化程度。如果连续两次迭代之间的无穷范数小于等于10^-5，就认为迭代已经足够接近实际解，从而停止迭代。 4. 算法效率： 对于大规模线性方程组，直接求解（如高斯消元）可能涉及矩阵的逆运算，这在计算成本上较高。而迭代法避免了直接求逆，尤其适合处理大型稀疏矩阵，因为它们通常只需进行少数次迭代就能达到满意的结果。 5. 实际应用： 这些迭代方法广泛应用于科学计算、工程问题以及数据分析等领域，例如流体力学、电磁学和经济模型等，它们能有效地处理复杂的线性系统问题。 徐煜森同学的实验报告深入浅出地介绍了Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，通过编程实践加深了对这两种方法的理解，并通过无穷范数的比较确保了解的收敛性，展示了在解决线性方程组问题中的实用策略。