迎风混合有限体积法在对流扩散问题中的收敛性研究

"这篇文章是关于对流扩散问题的迎风混合有限体积法的收敛性分析，作者是芮洪兴，发表于山东大学数学与系统科学学院。该方法应用于描述地下流体污染问题，采用最低次Raviart-Thomas混合有限元素空间，并证明了在L2(Ω)范数下，浓度和浓度通量的一阶收敛性。关键词包括混合有限体积法、迎风离散化、对流扩散问题和误差估计。" 文章深入探讨了一种用于解决对流扩散问题的迎风混合有限体积方法。对流扩散问题在许多领域都有应用，如地下水污染模型，其中污染物由流体携带并随时间扩散。该问题通常由一组一阶偏微分方程来描述，这些方程在具有特定边界条件的轴对称域Ω中定义。在本研究中，Ω表示为(a, b) × (c, d)，边界条件包括Dirichlet和Neumann边界。 作者采用了最低次Raviart-Thomas混合有限元素空间来近似解。Raviart-Thomas（RT）元素是一种常用的混合有限元方法，它允许同时处理速度和压力场，对于对流扩散问题尤其适用。这种混合方法的优点在于可以更好地处理对流项，尤其是在有强烈对流的情况下，能够避免数值振荡。 论文的核心贡献在于证明了所提出方法的一阶收敛性。这意味着随着网格分辨率的增加，解的误差将以线性速率减小，这对于数值模拟的精度是至关重要的。特别地，作者展示了在L2(Ω)范数中，浓度和浓度通量的误差都收敛到第一阶。L2范数是衡量函数在区域Ω内的平均平方误差的标准度量。 此外，文章假设了扩散张量D为正定对角矩阵，保证了问题的椭圆性质，并且存在常数使得扩散系数满足一定的比例关系，这确保了问题的稳定性和收敛性的理论基础。 这篇论文为对流扩散问题的数值求解提供了一个稳健且有效的工具，其方法论和收敛性分析对于实际工程和环境科学中的流体流动与扩散建模具有指导意义。通过使用迎风混合有限体积法，研究者可以更准确地模拟和预测污染物在地下的传播情况，从而帮助制定污染控制策略和环境治理措施。