微分变换与雅可比：平面2R机械手的力矩计算

本文主要讨论了在机器人学中的一个重要概念——雅可比矩阵。雅可比矩阵在描述机器人系统中杆件运动与关节空间之间关系时起着关键作用。它在微分变换理论中被广泛应用，特别是在解决机器人末端执行器与目标物体之间误差补偿以及不同坐标系之间的微位移问题上。 首先，文章介绍了微分变换的概念。当一个变换元素是某个变量的函数时，对其微分就是变换矩阵中每个元素对该变量偏导数构成的新矩阵，乘以变量的微分。以一个具体的例子来说明，如果有一个变换矩阵T，其元素是变量x的函数，那么微分dT可以通过对T的元素分别对x求偏导数来计算。 接着，微分运动的概念被引入。当机器人的一根杆件经历微小运动，其相对于基坐标系的位姿会发生变化，从T到T+dT。这种微小变化可以分解为平移和旋转，通过齐次变换表示为右乘或左乘的形式。微分dT可以表示为总微动量d和旋转矩阵的组合。 雅可比矩阵在此场景下用于描述这种杆件在空间中的微小运动如何映射到关节空间的变化。它在机器人动力学和控制中尤为重要，因为它能将末端执行器的速度和加速度转换为关节速度和加速度，这对于路径规划、力控制和轨迹跟踪等任务至关重要。 举个例子，如图所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，需要计算在关节无摩擦力的情况下，手爪作用于外界环境的力F对应的有效关节力矩。这就需要利用雅可比矩阵来建立末端执行器和关节力矩之间的数学关系。 总结来说，雅可比矩阵是连接机械臂末端执行器与关节空间的桥梁，它在机器人运动学和动力学分析中扮演着核心角色。理解并熟练运用雅可比矩阵，能够帮助工程师设计更精确的机器人控制系统，提高机器人的精度和效率。