局部紧致度量空间中h-势与Hausdorff测度的关联分析

"容量和Hausdorff测度的关系 (1982年)" 这篇论文探讨了在局部紧致、可分的度量空间X中，容量（Capacity）与Hausdorff测度（Hausdorff Measure）之间的关联。度量空间X的直径记为Demote by rPQ，表示两点之间的距离。h(r)是一个在区间内正的非增函数，用于定义h-potential，这是一种与正则Borel集相关的概念。 Borel集在这里是指具有特定拓扑特性的集合，它在实数轴或其他度量空间中的定义是基础数学的一部分。文章引用了Newton的相关工作，讨论了Borel集在容量理论中的作用。 容量理论是一种研究分布和潜在理论的方法，特别是在解决极值问题和电势理论中。它涉及如何分配“能量”或“质量”于空间的各个部分，以使得某个目标函数（如电势）达到特定性质。 Hausdorff测度是度量空间中一个重要的几何概念，它提供了一种量化集合大小的方式，尤其适用于不规则或有界的集合。Hausdorff测度可以被定义为通过不同尺度下的覆盖来逼近集合的大小。 在文中，作者使用了符号Sh(r)表示与h(r)相关的某个函数，可能与潜在理论中的势能有关。当n>2时，存在一个b1i?]Ý(NÙgt0，使得相关函数为0；而当n=2时，情况有所不同。此外，文章还提到了容量C.(E)和Hausdorff测度Cˆ(E)的性质，以及它们在某些条件下的关系。 文章指出，如果对于某个集合E，其容量C^(E)不为零，那么它的Hausdorff测度m..(E)也为非零。反之，如果Hausdorff测度为零，则容量也必定为零。这种对应关系在理解空间中的结构和形状时非常有用，尤其是在处理复杂几何问题时。 文中还涉及到了Rogers的工作，以及如何通过Borel集的性质推断关于Hausdorff测度的信息。特别地，文章讨论了不同条件下的容量不等式，如A(r)>o(rNŒN)，这与集合的覆盖和逼近方法有关。 总结来说，这篇1982年的论文深入研究了容量与Hausdorff测度的相互作用，提供了关于局部紧致可分度量空间中几何与分析性质之间联系的见解。这对于理解和应用潜在理论、电势理论以及空间几何的研究者具有重要意义。