线性动态规划解题实践：关键子工程与有向图最短路径

本篇文章主要探讨的是线型动态规划在算法专项练习中的应用，特别是在解决实际问题中的决策过程。首先，作者提出的问题是关于长度为k的独木桥跳石子问题，通过观察和验证发现，对于1<=S<=T<=10的可跳步长区间，存在一个最大步长MaxK（例如MaxK=100）足以应对所有情况，体现了动态规划的思想——寻找最小或最大成本的解决方案。 接着，文章引入了带权有向多段图问题，这是一种典型的应用场景，如从起点A到终点D的最短路径问题。这里使用了状态转移方程F(i)，其中F(A)为0，后续状态通过与前一阶段状态的加权和得到，体现了动态规划的递推性质。决策序列和最优活动路线的概念被用来描述整个过程的逻辑。 文章重点提及了多阶段最优化决策问题，比如工程项目的工期优化，其中每个阶段的决策只与前一个阶段相关，形成最优策略。状态转移方程fk(i)定义了从起始状态到状态i的最优代价，而动态规划的基本原理，即最优性原理和无后效性原则，确保了每一步决策都是基于当前最优状态的。 第一题——关键子工程问题，涉及多个相互依赖的子工程的最短完成时间和关键子工程的识别。通过拓扑排序判断是否有解，然后用动态规划求解每个子工程的最早完成时间F[I]，关键工程的判定依赖于F[I]与相邻工程的关系。这个问题的时间复杂度需要根据具体实现来确定。 本文深入剖析了线型动态规划在求解此类问题中的核心概念和方法，包括状态定义、状态转移方程、决策策略以及动态规划原理的应用，旨在帮助读者理解和掌握动态规划在实际问题中的有效运用。