Ising模型详解：从一维到三维的发展历程

Ising模型简述 Ising模型是 Lenzt 于1920年代向他的学生Ising提出的一个研究铁磁性的简单模型。Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。Ising模型是一个统计力学模型，用于描述磁性体的磁化过程。 Ising模型的基本假设是，每个磁矩可以取向向上或向下两种状态，且每个磁矩之间只有最近邻交互作用。这种假设使得模型变得简单易解，但同时也限制了模型的适用范围。 Ising模型的重要性在于，它是第一个成功描述磁性的统计力学模型。Ising模型的出现标志着磁性研究的新时代的开始，并且对磁性理论的发展产生了深远的影响。 Ising模型的求解是一个复杂的问题。Ising本人在1925年发表了他对一维Ising模型的严格解，但他错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。这个推断在后来被证明是错误的。1936年Peierls论证了二维或三维的Ising模型存在着自发磁化，但他并没有能够给出模型的严格解。1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。 Ising模型的精确解是一个开放的问题。即使是在一维和二维情况下，Ising模型的精确解也非常复杂。二维Ising模型的精确解是由Onsager在1944年给出的，而三维Ising模型的精确解仍然是一个开放的问题。许多人尝试过解决这个问题，但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。 在解决Ising模型的精确解过程中，人们发展了一些近似计算方法，如分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等。这些方法可以近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数。 Recently, 张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解。在二维系统具有最高对称性的正方Ising模型具有最高的居里温度白银解。获得的结果具有一定的对称性和美学价值，并可部分返回到二维和一维的结果。 Ising模型的应用非常广泛，如磁性材料的研究、超导体的研究、统计力学的研究等。Ising模型的发展也推动了磁性理论的发展，并且对磁性材料的应用产生了深远的影响。