理解EM算法：从原理到应用解析

本文档详细介绍了EM算法，包括其原理和应用，适合EM算法初学者学习。EM算法常用于处理含有隐含变量的概率模型，如混合高斯分布。文档作者为XiaoHan，参考了Christopher M. Bishop的《Pattern Recognition and Machine Learning》。 EM算法，全称为期望最大化（Expectation-Maximization）算法，是一种迭代方法，主要用于估计含有不可观测变量（隐藏变量）的概率模型的参数。在混合高斯分布的例子中，EM算法可以帮助我们找出最佳的混合比例（π）、均值（μ）和协方差矩阵（Σ）。 预备知识包括概率论基础，如概率的加法、乘法规则，条件概率，独立同分布（i.i.d.）的概念，以及多维随机变量、高斯分布、贝叶斯定理和最大似然估计等。同时，对求导有一定的要求，包括偏导、向量求导、矩阵求导和拉格朗日乘数法。 问题的来源在于，当我们面对由多个高斯分布组成的混合模型时，数据点可能来自其中一个或多个分布，但具体是哪个并不清楚。EM算法旨在解决这个问题，即使在无法直接观察到隐藏变量（z）的情况下。 算法通常包含E步（期望）和M步（最大化）。在E步中，我们计算每个数据点属于每个高斯分布的概率；在M步中，利用这些概率来更新模型参数。这一过程反复进行，直到参数收敛或者达到预设的迭代次数。 文档通过图形化的方式直观地展示了问题的简化版本和实际问题的复杂性。在简化问题中，假设我们已知每个数据点所属的高斯分布，参数估计变得容易。而在实际问题中，由于隐藏变量的存在，我们需要利用EM算法来估计这些参数。 隐藏变量Z采用1-of-K编码方式表示，使得每个数据点可以被分配给混合模型中的一个特定高斯分布。通过引入Z，我们可以将混合高斯分布的复杂形式转换为更易处理的形式，并在此基础上进行E步和M步的计算。 在后续讨论中，作者指出，P(x)和P(x|参数)在上下文中可视为等价，简化了表达。此外，对于观测数据集中的样本，假定它们相互独立，这有助于简化EM算法的数学推导和实现。 EM算法是统计建模中的强大工具，尤其适用于处理混合模型和有隐藏变量的概率模型。通过迭代地调整参数，EM算法能够在不直接观察到所有信息的情况下，优化模型的性能。对于机器学习和数据挖掘领域的实践者来说，理解和掌握EM算法至关重要。